Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 647 / 343
↖ ↑ ↗
← N 81.634149°
W123.134765°		 ← 1 421.90 m → N 81.634149°
W123.046875°		 →
↑
1 422.96 m
↓
↑
1 422.96 m
↓
N 81.621352°
W123.134765°		 ← 1 424.06 m →
2 024 854 m²		 N 81.621352°
W123.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1580810546875 y=0.0838623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1580810546875 × 212)
    floor (0.1580810546875 × 4096)
    floor (647.5)     		tx = 647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0838623046875 × 212)
    floor (0.0838623046875 × 4096)
    floor (343.5)     		ty = 343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 647 / 343 ti = "12/647/343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/647/343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 647 ÷ 212
    647 ÷ 4096     		x = 0.157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 343 ÷ 212
    343 ÷ 4096     		y = 0.083740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.68408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14910708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083740234375 × 2 - 1) × π
    0.83251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61543724327026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14910708} λ = -2.14910708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61543724327026))-π/2
    2×atan(13.6731935829294)-π/2
    2×1.49779050371362-π/2
    2.99558100742724-1.57079632675     		φ = 1.42478468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14910708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.134765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42478468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.634149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 647 KachelY 343 -2.14910708 1.42478468 -123.134765 81.634149
    Oben rechts KachelX + 1 648 KachelY 343 -2.14757310 1.42478468 -123.046875 81.634149
    Unten links KachelX 647 KachelY + 1 344 -2.14910708 1.42456133 -123.134765 81.621352
    Unten rechts KachelX + 1 648 KachelY + 1 344 -2.14757310 1.42456133 -123.046875 81.621352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42478468-1.42456133) × R
    0.000223349999999956 × 6371000     		dl = 1422.96284999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42478468-1.42456133) × R
    0.000223349999999956 × 6371000     		dr = 1422.96284999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14910708--2.14757310) × cos(1.42478468) × R
    0.00153398000000005 × 0.145493386079104 × 6371000     		do = 1421.90490962988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14910708--2.14757310) × cos(1.42456133) × R
    0.00153398000000005 × 0.145714355831018 × 6371000     		du = 1424.06444404992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42478468)-sin(1.42456133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145493386079104-0.145714355831018)×R²
    abs(-2.14757310--2.14910708)×0.000220969751913852×R²
    0.00153398000000005×0.000220969751913852×6371000²
    0.00153398000000005×0.000220969751913852×40589641000000     		ar = 2024854.33968214m²