Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64698 / 94990
↖ ↑ ↗
← S 62.611035°
W  2.301636°		 ← 140.50 m → S 62.611035°
W  2.298889°		 →
↑
140.48 m
↓
↑
140.48 m
↓
S 62.612298°
W  2.301636°		 ← 140.50 m →
19 738 m²		 S 62.612298°
W  2.298889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493610382080078 y=0.724720001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493610382080078 × 217)
    floor (0.493610382080078 × 131072)
    floor (64698.5)     		tx = 64698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724720001220703 × 217)
    floor (0.724720001220703 × 131072)
    floor (94990.5)     		ty = 94990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64698 / 94990 ti = "17/64698/94990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64698/94990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64698 ÷ 217
    64698 ÷ 131072     		x = 0.493606567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94990 ÷ 217
    94990 ÷ 131072     		y = 0.724716186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493606567382812 × 2 - 1) × π
    -0.012786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04017112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724716186523438 × 2 - 1) × π
    -0.449432373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41193344140913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04017112} λ = -0.04017112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41193344140913))-π/2
    2×atan(0.243671702453758)-π/2
    2×0.239013807278246-π/2
    0.478027614556492-1.57079632675     		φ = -1.09276871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04017112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.301636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09276871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.611035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64698 KachelY 94990 -0.04017112 -1.09276871 -2.301636 -62.611035
    Oben rechts KachelX + 1 64699 KachelY 94990 -0.04012318 -1.09276871 -2.298889 -62.611035
    Unten links KachelX 64698 KachelY + 1 94991 -0.04017112 -1.09279076 -2.301636 -62.612298
    Unten rechts KachelX + 1 64699 KachelY + 1 94991 -0.04012318 -1.09279076 -2.298889 -62.612298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09276871--1.09279076) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dl = 140.480549999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09276871--1.09279076) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dr = 140.480549999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04017112--0.04012318) × cos(-1.09276871) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.460028784558687 × 6371000     		do = 140.504631945127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04017112--0.04012318) × cos(-1.09279076) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.460009206163604 × 6371000     		du = 140.49865219932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09276871)-sin(-1.09279076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460028784558687-0.460009206163604)×R²
    abs(-0.04012318--0.04017112)×1.95783950835415e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.95783950835415e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.95783950835415e-05×40589641000000     		ar = 19737.7479549331m²