Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64694 / 95035
↖ ↑ ↗
← S 62.667839°
W  2.312622°		 ← 140.24 m → S 62.667839°
W  2.309875°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
S 62.669100°
W  2.312622°		 ← 140.23 m →
19 664 m²		 S 62.669100°
W  2.309875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493579864501953 y=0.725063323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493579864501953 × 217)
    floor (0.493579864501953 × 131072)
    floor (64694.5)     		tx = 64694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725063323974609 × 217)
    floor (0.725063323974609 × 131072)
    floor (95035.5)     		ty = 95035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64694 / 95035 ti = "17/64694/95035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64694/95035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64694 ÷ 217
    64694 ÷ 131072     		x = 0.493576049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95035 ÷ 217
    95035 ÷ 131072     		y = 0.725059509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493576049804688 × 2 - 1) × π
    -0.012847900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04036287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725059509277344 × 2 - 1) × π
    -0.450119018554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.41409060189204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04036287} λ = -0.04036287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41409060189204))-π/2
    2×atan(0.243146630022784)-π/2
    2×0.238518104278454-π/2
    0.477036208556908-1.57079632675     		φ = -1.09376012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04036287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.312622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09376012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.667839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64694 KachelY 95035 -0.04036287 -1.09376012 -2.312622 -62.667839
    Oben rechts KachelX + 1 64695 KachelY 95035 -0.04031493 -1.09376012 -2.309875 -62.667839
    Unten links KachelX 64694 KachelY + 1 95036 -0.04036287 -1.09378213 -2.312622 -62.669100
    Unten rechts KachelX + 1 64695 KachelY + 1 95036 -0.04031493 -1.09378213 -2.309875 -62.669100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09376012--1.09378213) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dl = 140.225709999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09376012--1.09378213) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dr = 140.225709999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04036287--0.04031493) × cos(-1.09376012) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.459148281716228 × 6371000     		do = 140.235703712917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04036287--0.04031493) × cos(-1.09378213) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.459128728809272 × 6371000     		du = 140.229731751841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09376012)-sin(-1.09378213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459148281716228-0.459128728809272)×R²
    abs(-0.04031493--0.04036287)×1.95529069567657e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.95529069567657e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.95529069567657e-05×40589641000000     		ar = 19664.2324100332m²