Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64689 / 94985
↖ ↑ ↗
← S 62.604717°
W  2.326355°		 ← 140.51 m → S 62.604717°
W  2.323609°		 →
↑
140.54 m
↓
↑
140.54 m
↓
S 62.605981°
W  2.326355°		 ← 140.50 m →
19 747 m²		 S 62.605981°
W  2.323609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493541717529297 y=0.724681854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493541717529297 × 217)
    floor (0.493541717529297 × 131072)
    floor (64689.5)     		tx = 64689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724681854248047 × 217)
    floor (0.724681854248047 × 131072)
    floor (94985.5)     		ty = 94985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64689 / 94985 ti = "17/64689/94985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64689/94985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64689 ÷ 217
    64689 ÷ 131072     		x = 0.493537902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94985 ÷ 217
    94985 ÷ 131072     		y = 0.724678039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493537902832031 × 2 - 1) × π
    -0.0129241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04060255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724678039550781 × 2 - 1) × π
    -0.449356079101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.41169375691103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04060255} λ = -0.04060255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41169375691103))-π/2
    2×atan(0.243730113783327)-π/2
    2×0.239068944028872-π/2
    0.478137888057743-1.57079632675     		φ = -1.09265844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04060255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.326355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09265844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.604717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64689 KachelY 94985 -0.04060255 -1.09265844 -2.326355 -62.604717
    Oben rechts KachelX + 1 64690 KachelY 94985 -0.04055462 -1.09265844 -2.323609 -62.604717
    Unten links KachelX 64689 KachelY + 1 94986 -0.04060255 -1.09268050 -2.326355 -62.605981
    Unten rechts KachelX + 1 64690 KachelY + 1 94986 -0.04055462 -1.09268050 -2.323609 -62.605981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09265844--1.09268050) × R
    2.20600000000459e-05 × 6371000     		dl = 140.544260000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09265844--1.09268050) × R
    2.20600000000459e-05 × 6371000     		dr = 140.544260000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04060255--0.04055462) × cos(-1.09265844) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.460126690935974 × 6371000     		do = 140.505220401396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04060255--0.04055462) × cos(-1.09268050) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.46010710478089 × 6371000     		du = 140.49923953332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09265844)-sin(-1.09268050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460126690935974-0.46010710478089)×R²
    abs(-0.04055462--0.04060255)×1.95861550840726e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.95861550840726e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.95861550840726e-05×40589641000000     		ar = 19746.7819398851m²