Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64682 / 94989
↖ ↑ ↗
← S 62.609772°
W  2.345581°		 ← 140.48 m → S 62.609772°
W  2.342835°		 →
↑
140.48 m
↓
↑
140.48 m
↓
S 62.611035°
W  2.345581°		 ← 140.48 m →
19 734 m²		 S 62.611035°
W  2.342835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493488311767578 y=0.724712371826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493488311767578 × 217)
    floor (0.493488311767578 × 131072)
    floor (64682.5)     		tx = 64682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724712371826172 × 217)
    floor (0.724712371826172 × 131072)
    floor (94989.5)     		ty = 94989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64682 / 94989 ti = "17/64682/94989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64682/94989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64682 ÷ 217
    64682 ÷ 131072     		x = 0.493484497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94989 ÷ 217
    94989 ÷ 131072     		y = 0.724708557128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493484497070312 × 2 - 1) × π
    -0.013031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04093811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724708557128906 × 2 - 1) × π
    -0.449417114257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.41188550450951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04093811} λ = -0.04093811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41188550450951))-π/2
    2×atan(0.243683383599675)-π/2
    2×0.23902483368969-π/2
    0.478049667379381-1.57079632675     		φ = -1.09274666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04093811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.345581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09274666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.609772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64682 KachelY 94989 -0.04093811 -1.09274666 -2.345581 -62.609772
    Oben rechts KachelX + 1 64683 KachelY 94989 -0.04089018 -1.09274666 -2.342835 -62.609772
    Unten links KachelX 64682 KachelY + 1 94990 -0.04093811 -1.09276871 -2.345581 -62.611035
    Unten rechts KachelX + 1 64683 KachelY + 1 94990 -0.04089018 -1.09276871 -2.342835 -62.611035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09274666--1.09276871) × R
    2.20500000001067e-05 × 6371000     		dl = 140.48055000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09274666--1.09276871) × R
    2.20500000001067e-05 × 6371000     		dr = 140.48055000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04093811--0.04089018) × cos(-1.09274666) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.460048362730104 × 6371000     		do = 140.481301941445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04093811--0.04089018) × cos(-1.09276871) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.460028784558687 × 6371000     		du = 140.475323511278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09274666)-sin(-1.09276871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460048362730104-0.460028784558687)×R²
    abs(-0.04089018--0.04093811)×1.95781714166232e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.95781714166232e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.95781714166232e-05×40589641000000     		ar = 19734.4706357599m²