Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64679 / 94975
↖ ↑ ↗
← S 62.592076°
W  2.353821°		 ← 140.57 m → S 62.592076°
W  2.351074°		 →
↑
140.61 m
↓
↑
140.61 m
↓
S 62.593341°
W  2.353821°		 ← 140.56 m →
19 764 m²		 S 62.593341°
W  2.351074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493465423583984 y=0.724605560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493465423583984 × 217)
    floor (0.493465423583984 × 131072)
    floor (64679.5)     		tx = 64679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724605560302734 × 217)
    floor (0.724605560302734 × 131072)
    floor (94975.5)     		ty = 94975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64679 / 94975 ti = "17/64679/94975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64679/94975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64679 ÷ 217
    64679 ÷ 131072     		x = 0.493461608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94975 ÷ 217
    94975 ÷ 131072     		y = 0.724601745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493461608886719 × 2 - 1) × π
    -0.0130767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04108192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724601745605469 × 2 - 1) × π
    -0.449203491210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.41121438791483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04108192} λ = -0.04108192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41121438791483))-π/2
    2×atan(0.243846978451727)-π/2
    2×0.239179252735768-π/2
    0.478358505471535-1.57079632675     		φ = -1.09243782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04108192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.353821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09243782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.592076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64679 KachelY 94975 -0.04108192 -1.09243782 -2.353821 -62.592076
    Oben rechts KachelX + 1 64680 KachelY 94975 -0.04103399 -1.09243782 -2.351074 -62.592076
    Unten links KachelX 64679 KachelY + 1 94976 -0.04108192 -1.09245989 -2.353821 -62.593341
    Unten rechts KachelX + 1 64680 KachelY + 1 94976 -0.04103399 -1.09245989 -2.351074 -62.593341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09243782--1.09245989) × R
    2.20699999999852e-05 × 6371000     		dl = 140.607969999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09243782--1.09245989) × R
    2.20699999999852e-05 × 6371000     		dr = 140.607969999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04108192--0.04103399) × cos(-1.09243782) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.460322557924802 × 6371000     		do = 140.565030742715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04108192--0.04103399) × cos(-1.09245989) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.460302965131908 × 6371000     		du = 140.559047847703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09243782)-sin(-1.09245989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460322557924802-0.460302965131908)×R²
    abs(-0.04103399--0.04108192)×1.95927928938744e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.95927928938744e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.95927928938744e-05×40589641000000     		ar = 19764.1430051647m²