Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64673 / 94965
↖ ↑ ↗
← S 62.579431°
W  2.370300°		 ← 140.62 m → S 62.579431°
W  2.367554°		 →
↑
140.67 m
↓
↑
140.67 m
↓
S 62.580696°
W  2.370300°		 ← 140.62 m →
19 782 m²		 S 62.580696°
W  2.367554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493419647216797 y=0.724529266357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493419647216797 × 217)
    floor (0.493419647216797 × 131072)
    floor (64673.5)     		tx = 64673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724529266357422 × 217)
    floor (0.724529266357422 × 131072)
    floor (94965.5)     		ty = 94965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64673 / 94965 ti = "17/64673/94965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64673/94965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64673 ÷ 217
    64673 ÷ 131072     		x = 0.493415832519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94965 ÷ 217
    94965 ÷ 131072     		y = 0.724525451660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493415832519531 × 2 - 1) × π
    -0.0131683349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04136954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724525451660156 × 2 - 1) × π
    -0.449050903320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.41073501891863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04136954} λ = -0.04136954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41073501891863))-π/2
    2×atan(0.243963899154855)-π/2
    2×0.239289608395699-π/2
    0.478579216791398-1.57079632675     		φ = -1.09221711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04136954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.370300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09221711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.579431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64673 KachelY 94965 -0.04136954 -1.09221711 -2.370300 -62.579431
    Oben rechts KachelX + 1 64674 KachelY 94965 -0.04132161 -1.09221711 -2.367554 -62.579431
    Unten links KachelX 64673 KachelY + 1 94966 -0.04136954 -1.09223919 -2.370300 -62.580696
    Unten rechts KachelX + 1 64674 KachelY + 1 94966 -0.04132161 -1.09223919 -2.367554 -62.580696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09221711--1.09223919) × R
    2.20799999999244e-05 × 6371000     		dl = 140.671679999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09221711--1.09223919) × R
    2.20799999999244e-05 × 6371000     		dr = 140.671679999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04136954--0.04132161) × cos(-1.09221711) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.460518482396778 × 6371000     		do = 140.624858637204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04136954--0.04132161) × cos(-1.09223919) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.460498882969974 × 6371000     		du = 140.618873716448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09221711)-sin(-1.09223919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460518482396778-0.460498882969974)×R²
    abs(-0.04132161--0.04136954)×1.95994268038513e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.95994268038513e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.95994268038513e-05×40589641000000     		ar = 19781.5141603992m²