Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64667 / 77474
↖ ↑ ↗
← S 31.132902°
W  2.386780°		 ← 261.44 m → S 31.132902°
W  2.384033°		 →
↑
261.40 m
↓
↑
261.40 m
↓
S 31.135253°
W  2.386780°		 ← 261.43 m →
68 339 m²		 S 31.135253°
W  2.384033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493373870849609 y=0.591083526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493373870849609 × 217)
    floor (0.493373870849609 × 131072)
    floor (64667.5)     		tx = 64667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591083526611328 × 217)
    floor (0.591083526611328 × 131072)
    floor (77474.5)     		ty = 77474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64667 / 77474 ti = "17/64667/77474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64667/77474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64667 ÷ 217
    64667 ÷ 131072     		x = 0.493370056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77474 ÷ 217
    77474 ÷ 131072     		y = 0.591079711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493370056152344 × 2 - 1) × π
    -0.0132598876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04165717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591079711914062 × 2 - 1) × π
    -0.182159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.57227070766423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04165717} λ = -0.04165717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.57227070766423))-π/2
    2×atan(0.564242752605277)-π/2
    2×0.513712345830444-π/2
    1.02742469166089-1.57079632675     		φ = -0.54337164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04165717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.386780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54337164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.132902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64667 KachelY 77474 -0.04165717 -0.54337164 -2.386780 -31.132902
    Oben rechts KachelX + 1 64668 KachelY 77474 -0.04160923 -0.54337164 -2.384033 -31.132902
    Unten links KachelX 64667 KachelY + 1 77475 -0.04165717 -0.54341267 -2.386780 -31.135253
    Unten rechts KachelX + 1 64668 KachelY + 1 77475 -0.04160923 -0.54341267 -2.384033 -31.135253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54337164--0.54341267) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dl = 261.402129999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54337164--0.54341267) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dr = 261.402129999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04165717--0.04160923) × cos(-0.54337164) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.855970327980501 × 6371000     		do = 261.435370841505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04165717--0.04160923) × cos(-0.54341267) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.855949113726364 × 6371000     		du = 261.428891462237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54337164)-sin(-0.54341267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855970327980501-0.855949113726364)×R²
    abs(-0.04160923--0.04165717)×2.12142541370364e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.12142541370364e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.12142541370364e-05×40589641000000     		ar = 68338.9159430599m²