Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64657 / 95058
↖ ↑ ↗
← S 62.696829°
W  2.414245°		 ← 140.07 m → S 62.696829°
W  2.411499°		 →
↑
140.10 m
↓
↑
140.10 m
↓
S 62.698089°
W  2.414245°		 ← 140.06 m →
19 623 m²		 S 62.698089°
W  2.411499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493297576904297 y=0.725238800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493297576904297 × 217)
    floor (0.493297576904297 × 131072)
    floor (64657.5)     		tx = 64657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725238800048828 × 217)
    floor (0.725238800048828 × 131072)
    floor (95058.5)     		ty = 95058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64657 / 95058 ti = "17/64657/95058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64657/95058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64657 ÷ 217
    64657 ÷ 131072     		x = 0.493293762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95058 ÷ 217
    95058 ÷ 131072     		y = 0.725234985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493293762207031 × 2 - 1) × π
    -0.0134124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04213653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725234985351562 × 2 - 1) × π
    -0.450469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4151931505833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04213653} λ = -0.04213653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4151931505833))-π/2
    2×atan(0.242878696755946)-π/2
    2×0.238265111538174-π/2
    0.476530223076347-1.57079632675     		φ = -1.09426610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04213653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.414245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09426610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.696829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64657 KachelY 95058 -0.04213653 -1.09426610 -2.414245 -62.696829
    Oben rechts KachelX + 1 64658 KachelY 95058 -0.04208860 -1.09426610 -2.411499 -62.696829
    Unten links KachelX 64657 KachelY + 1 95059 -0.04213653 -1.09428809 -2.414245 -62.698089
    Unten rechts KachelX + 1 64658 KachelY + 1 95059 -0.04208860 -1.09428809 -2.411499 -62.698089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09426610--1.09428809) × R
    2.19900000000273e-05 × 6371000     		dl = 140.098290000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09426610--1.09428809) × R
    2.19900000000273e-05 × 6371000     		dr = 140.098290000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04213653--0.04208860) × cos(-1.09426610) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.458698730748621 × 6371000     		do = 140.069175579827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04213653--0.04208860) × cos(-1.09428809) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.458679190502955 × 6371000     		du = 140.063208730744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09426610)-sin(-1.09428809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458698730748621-0.458679190502955)×R²
    abs(-0.04208860--0.04213653)×1.95402456659166e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.95402456659166e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.95402456659166e-05×40589641000000     		ar = 19623.0340083932m²