Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64657 / 77489
↖ ↑ ↗
← S 31.168160°
W  2.414245°		 ← 261.28 m → S 31.168160°
W  2.411499°		 →
↑
261.34 m
↓
↑
261.34 m
↓
S 31.170510°
W  2.414245°		 ← 261.28 m →
68 283 m²		 S 31.170510°
W  2.411499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493297576904297 y=0.591197967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493297576904297 × 217)
    floor (0.493297576904297 × 131072)
    floor (64657.5)     		tx = 64657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591197967529297 × 217)
    floor (0.591197967529297 × 131072)
    floor (77489.5)     		ty = 77489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64657 / 77489 ti = "17/64657/77489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64657/77489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64657 ÷ 217
    64657 ÷ 131072     		x = 0.493293762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77489 ÷ 217
    77489 ÷ 131072     		y = 0.591194152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493293762207031 × 2 - 1) × π
    -0.0134124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04213653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591194152832031 × 2 - 1) × π
    -0.182388305664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.572989761158531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04213653} λ = -0.04213653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572989761158531))-π/2
    2×atan(0.563837177714878)-π/2
    2×0.513404658819016-π/2
    1.02680931763803-1.57079632675     		φ = -0.54398701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04213653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.414245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54398701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.168160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64657 KachelY 77489 -0.04213653 -0.54398701 -2.414245 -31.168160
    Oben rechts KachelX + 1 64658 KachelY 77489 -0.04208860 -0.54398701 -2.411499 -31.168160
    Unten links KachelX 64657 KachelY + 1 77490 -0.04213653 -0.54402803 -2.414245 -31.170510
    Unten rechts KachelX + 1 64658 KachelY + 1 77490 -0.04208860 -0.54402803 -2.411499 -31.170510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54398701--0.54402803) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dl = 261.338419999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54398701--0.54402803) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dr = 261.338419999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04213653--0.04208860) × cos(-0.54398701) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.855652004288358 × 6371000     		do = 261.28363300307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04213653--0.04208860) × cos(-0.54402803) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.855630773602295 × 6371000     		du = 261.277149957676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54398701)-sin(-0.54402803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855652004288358-0.855630773602295)×R²
    abs(-0.04208860--0.04213653)×2.12306860631895e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.12306860631895e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.12306860631895e-05×40589641000000     		ar = 68282.6046960075m²