Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64651 / 31867
↖ ↑ ↗
← N 67.480183°
W  2.430725°		 ← 116.98 m → N 67.480183°
W  2.427979°		 →
↑
116.97 m
↓
↑
116.97 m
↓
N 67.479131°
W  2.430725°		 ← 116.98 m →
13 684 m²		 N 67.479131°
W  2.427979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493251800537109 y=0.243129730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493251800537109 × 217)
    floor (0.493251800537109 × 131072)
    floor (64651.5)     		tx = 64651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243129730224609 × 217)
    floor (0.243129730224609 × 131072)
    floor (31867.5)     		ty = 31867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64651 / 31867 ti = "17/64651/31867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64651/31867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64651 ÷ 217
    64651 ÷ 131072     		x = 0.493247985839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31867 ÷ 217
    31867 ÷ 131072     		y = 0.243125915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493247985839844 × 2 - 1) × π
    -0.0135040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04242416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243125915527344 × 2 - 1) × π
    0.513748168945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.61398747330767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04242416} λ = -0.04242416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61398747330767))-π/2
    2×atan(5.0227996291918)-π/2
    2×1.3742738474772-π/2
    2.74854769495439-1.57079632675     		φ = 1.17775137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04242416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.430725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17775137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.480183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64651 KachelY 31867 -0.04242416 1.17775137 -2.430725 67.480183
    Oben rechts KachelX + 1 64652 KachelY 31867 -0.04237622 1.17775137 -2.427979 67.480183
    Unten links KachelX 64651 KachelY + 1 31868 -0.04242416 1.17773301 -2.430725 67.479131
    Unten rechts KachelX + 1 64652 KachelY + 1 31868 -0.04237622 1.17773301 -2.427979 67.479131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17775137-1.17773301) × R
    1.8359999999884e-05 × 6371000     		dl = 116.971559999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17775137-1.17773301) × R
    1.8359999999884e-05 × 6371000     		dr = 116.971559999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04242416--0.04237622) × cos(1.17775137) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.383002956390748 × 6371000     		do = 116.97896137784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04242416--0.04237622) × cos(1.17773301) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.383019916323255 × 6371000     		du = 116.984141377776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17775137)-sin(1.17773301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383002956390748-0.383019916323255)×R²
    abs(-0.04237622--0.04242416)×1.6959932506222e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.6959932506222e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.6959932506222e-05×40589641000000     		ar = 13683.5145561638m²