Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64649 / 95050
↖ ↑ ↗
← S 62.686749°
W  2.436218°		 ← 140.15 m → S 62.686749°
W  2.433472°		 →
↑
140.16 m
↓
↑
140.16 m
↓
S 62.688009°
W  2.436218°		 ← 140.14 m →
19 643 m²		 S 62.688009°
W  2.433472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493236541748047 y=0.725177764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493236541748047 × 217)
    floor (0.493236541748047 × 131072)
    floor (64649.5)     		tx = 64649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725177764892578 × 217)
    floor (0.725177764892578 × 131072)
    floor (95050.5)     		ty = 95050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64649 / 95050 ti = "17/64649/95050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64649/95050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64649 ÷ 217
    64649 ÷ 131072     		x = 0.493232727050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95050 ÷ 217
    95050 ÷ 131072     		y = 0.725173950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493232727050781 × 2 - 1) × π
    -0.0135345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04252003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725173950195312 × 2 - 1) × π
    -0.450347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41480965538634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04252003} λ = -0.04252003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41480965538634))-π/2
    2×atan(0.24297185743179)-π/2
    2×0.238353080904974-π/2
    0.476706161809947-1.57079632675     		φ = -1.09409016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04252003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.436218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09409016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.686749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64649 KachelY 95050 -0.04252003 -1.09409016 -2.436218 -62.686749
    Oben rechts KachelX + 1 64650 KachelY 95050 -0.04247209 -1.09409016 -2.433472 -62.686749
    Unten links KachelX 64649 KachelY + 1 95051 -0.04252003 -1.09411216 -2.436218 -62.688009
    Unten rechts KachelX + 1 64650 KachelY + 1 95051 -0.04247209 -1.09411216 -2.433472 -62.688009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09409016--1.09411216) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dl = 140.161999999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09409016--1.09411216) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dr = 140.161999999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04252003--0.04247209) × cos(-1.09409016) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.458855062498275 × 6371000     		do = 140.146147016291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04252003--0.04247209) × cos(-1.09411216) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.45883551514233 × 6371000     		du = 140.140176750637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09409016)-sin(-1.09411216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458855062498275-0.45883551514233)×R²
    abs(-0.04247209--0.04252003)×1.95473559445047e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.95473559445047e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.95473559445047e-05×40589641000000     		ar = 19642.7458565409m²