Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64648 / 75480
↖ ↑ ↗
← S 26.332807°
W  2.438965°		 ← 273.73 m → S 26.332807°
W  2.436218°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
S 26.335268°
W  2.438965°		 ← 273.73 m →
74 919 m²		 S 26.335268°
W  2.436218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493228912353516 y=0.575870513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493228912353516 × 217)
    floor (0.493228912353516 × 131072)
    floor (64648.5)     		tx = 64648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575870513916016 × 217)
    floor (0.575870513916016 × 131072)
    floor (75480.5)     		ty = 75480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64648 / 75480 ti = "17/64648/75480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64648/75480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64648 ÷ 217
    64648 ÷ 131072     		x = 0.49322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75480 ÷ 217
    75480 ÷ 131072     		y = 0.57586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04256797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57586669921875 × 2 - 1) × π
    -0.1517333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.476684529821838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04256797} λ = -0.04256797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476684529821838))-π/2
    2×atan(0.620838354389593)-π/2
    2×0.555601072355291-π/2
    1.11120214471058-1.57079632675     		φ = -0.45959418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04256797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.438965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45959418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.332807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64648 KachelY 75480 -0.04256797 -0.45959418 -2.438965 -26.332807
    Oben rechts KachelX + 1 64649 KachelY 75480 -0.04252003 -0.45959418 -2.436218 -26.332807
    Unten links KachelX 64648 KachelY + 1 75481 -0.04256797 -0.45963714 -2.438965 -26.335268
    Unten rechts KachelX + 1 64649 KachelY + 1 75481 -0.04252003 -0.45963714 -2.436218 -26.335268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45959418--0.45963714) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dl = 273.698159999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45959418--0.45963714) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dr = 273.698159999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04256797--0.04252003) × cos(-0.45959418) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896232586755964 × 6371000     		do = 273.732501022034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04256797--0.04252003) × cos(-0.45963714) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896213529541642 × 6371000     		du = 273.726680458247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45959418)-sin(-0.45963714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896232586755964-0.896213529541642)×R²
    abs(-0.04252003--0.04256797)×1.90572143219381e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90572143219381e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90572143219381e-05×40589641000000     		ar = 74919.2853345912m²