Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64645 / 75392
↖ ↑ ↗
← S 26.115986°
W  2.447205°		 ← 274.24 m → S 26.115986°
W  2.444458°		 →
↑
274.21 m
↓
↑
274.21 m
↓
S 26.118452°
W  2.447205°		 ← 274.24 m →
75 199 m²		 S 26.118452°
W  2.444458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493206024169922 y=0.575199127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493206024169922 × 217)
    floor (0.493206024169922 × 131072)
    floor (64645.5)     		tx = 64645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575199127197266 × 217)
    floor (0.575199127197266 × 131072)
    floor (75392.5)     		ty = 75392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64645 / 75392 ti = "17/64645/75392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64645/75392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64645 ÷ 217
    64645 ÷ 131072     		x = 0.493202209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75392 ÷ 217
    75392 ÷ 131072     		y = 0.5751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493202209472656 × 2 - 1) × π
    -0.0135955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04271178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5751953125 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04271178} λ = -0.04271178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.472466082655273))-π/2
    2×atan(0.623462859963627)-π/2
    2×0.557493192502727-π/2
    1.11498638500545-1.57079632675     		φ = -0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04271178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.447205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64645 KachelY 75392 -0.04271178 -0.45580994 -2.447205 -26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 64646 KachelY 75392 -0.04266384 -0.45580994 -2.444458 -26.115986
    Unten links KachelX 64645 KachelY + 1 75393 -0.04271178 -0.45585298 -2.447205 -26.118452
    Unten rechts KachelX + 1 64646 KachelY + 1 75393 -0.04266384 -0.45585298 -2.444458 -26.118452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45580994--0.45585298) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dl = 274.207839999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45580994--0.45585298) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dr = 274.207839999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04271178--0.04266384) × cos(-0.45580994) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 274.243236609059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04271178--0.04266384) × cos(-0.45585298) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.897885848883526 × 6371000     		du = 274.237449830758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45580994)-sin(-0.45585298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.897885848883526)×R²
    abs(-0.04266384--0.04271178)×1.89465966466962e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89465966466962e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89465966466962e-05×40589641000000     		ar = 75198.8521668302m²