Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64644 / 95053
↖ ↑ ↗
← S 62.690530°
W  2.449951°		 ← 140.10 m → S 62.690530°
W  2.447205°		 →
↑
140.10 m
↓
↑
140.10 m
↓
S 62.691789°
W  2.449951°		 ← 140.09 m →
19 627 m²		 S 62.691789°
W  2.447205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493198394775391 y=0.725200653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493198394775391 × 217)
    floor (0.493198394775391 × 131072)
    floor (64644.5)     		tx = 64644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725200653076172 × 217)
    floor (0.725200653076172 × 131072)
    floor (95053.5)     		ty = 95053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64644 / 95053 ti = "17/64644/95053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64644/95053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64644 ÷ 217
    64644 ÷ 131072     		x = 0.493194580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95053 ÷ 217
    95053 ÷ 131072     		y = 0.725196838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.01361083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04275971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725196838378906 × 2 - 1) × π
    -0.450393676757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.4149534660852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04275971} λ = -0.04275971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4149534660852))-π/2
    2×atan(0.242936917991562)-π/2
    2×0.238320088879572-π/2
    0.476640177759144-1.57079632675     		φ = -1.09415615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04275971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.449951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09415615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.690530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64644 KachelY 95053 -0.04275971 -1.09415615 -2.449951 -62.690530
    Oben rechts KachelX + 1 64645 KachelY 95053 -0.04271178 -1.09415615 -2.447205 -62.690530
    Unten links KachelX 64644 KachelY + 1 95054 -0.04275971 -1.09417814 -2.449951 -62.691789
    Unten rechts KachelX + 1 64645 KachelY + 1 95054 -0.04271178 -1.09417814 -2.447205 -62.691789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09415615--1.09417814) × R
    2.19899999998052e-05 × 6371000     		dl = 140.098289998759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09415615--1.09417814) × R
    2.19899999998052e-05 × 6371000     		dr = 140.098289998759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04275971--0.04271178) × cos(-1.09415615) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.458796428649635 × 6371000     		do = 140.099008809207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04275971--0.04271178) × cos(-1.09417814) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.458776889513106 × 6371000     		du = 140.093042298812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09415615)-sin(-1.09417814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458796428649635-0.458776889513106)×R²
    abs(-0.04271178--0.04275971)×1.95391365291897e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.95391365291897e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.95391365291897e-05×40589641000000     		ar = 19627.2136165082m²