Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64643 / 77565
↖ ↑ ↗
← S 31.346600°
W  2.452698°		 ← 260.84 m → S 31.346600°
W  2.449951°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
S 31.348946°
W  2.452698°		 ← 260.84 m →
68 035 m²		 S 31.348946°
W  2.449951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493190765380859 y=0.591777801513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493190765380859 × 217)
    floor (0.493190765380859 × 131072)
    floor (64643.5)     		tx = 64643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591777801513672 × 217)
    floor (0.591777801513672 × 131072)
    floor (77565.5)     		ty = 77565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64643 / 77565 ti = "17/64643/77565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64643/77565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64643 ÷ 217
    64643 ÷ 131072     		x = 0.493186950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77565 ÷ 217
    77565 ÷ 131072     		y = 0.591773986816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493186950683594 × 2 - 1) × π
    -0.0136260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04280765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591773986816406 × 2 - 1) × π
    -0.183547973632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.576632965529655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04280765} λ = -0.04280765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576632965529655))-π/2
    2×atan(0.561786740992383)-π/2
    2×0.511847472312882-π/2
    1.02369494462576-1.57079632675     		φ = -0.54710138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04280765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.452698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54710138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.346600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64643 KachelY 77565 -0.04280765 -0.54710138 -2.452698 -31.346600
    Oben rechts KachelX + 1 64644 KachelY 77565 -0.04275971 -0.54710138 -2.449951 -31.346600
    Unten links KachelX 64643 KachelY + 1 77566 -0.04280765 -0.54714232 -2.452698 -31.348946
    Unten rechts KachelX + 1 64644 KachelY + 1 77566 -0.04275971 -0.54714232 -2.449951 -31.348946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54710138--0.54714232) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dl = 260.828739999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54710138--0.54714232) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dr = 260.828739999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04280765--0.04275971) × cos(-0.54710138) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.854036010141309 × 6371000     		do = 260.844580384074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04280765--0.04275971) × cos(-0.54714232) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.85401471186886 × 6371000     		du = 260.838075343451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54710138)-sin(-0.54714232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854036010141309-0.85401471186886)×R²
    abs(-0.04275971--0.04280765)×2.12982724485666e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.12982724485666e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.12982724485666e-05×40589641000000     		ar = 68034.9148960382m²