Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64640 / 31872
↖ ↑ ↗
← N 67.474922°
W  2.460937°		 ← 116.98 m → N 67.474922°
W  2.458191°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
N 67.473870°
W  2.460937°		 ← 116.99 m →
13 691 m²		 N 67.473870°
W  2.458191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493167877197266 y=0.243167877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493167877197266 × 217)
    floor (0.493167877197266 × 131072)
    floor (64640.5)     		tx = 64640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243167877197266 × 217)
    floor (0.243167877197266 × 131072)
    floor (31872.5)     		ty = 31872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64640 / 31872 ti = "17/64640/31872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64640/31872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64640 ÷ 217
    64640 ÷ 131072     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31872 ÷ 217
    31872 ÷ 131072     		y = 0.2431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2431640625 × 2 - 1) × π
    0.513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.61374778880957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61374778880957))-π/2
    2×atan(5.02159588624864)-π/2
    2×1.37422794245969-π/2
    2.74845588491938-1.57079632675     		φ = 1.17765956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17765956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.474922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64640 KachelY 31872 -0.04295146 1.17765956 -2.460937 67.474922
    Oben rechts KachelX + 1 64641 KachelY 31872 -0.04290353 1.17765956 -2.458191 67.474922
    Unten links KachelX 64640 KachelY + 1 31873 -0.04295146 1.17764119 -2.460937 67.473870
    Unten rechts KachelX + 1 64641 KachelY + 1 31873 -0.04290353 1.17764119 -2.458191 67.473870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17765956-1.17764119) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17765956-1.17764119) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.04290353) × cos(1.17765956) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.383087763999222 × 6371000     		do = 116.98045728295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.04290353) × cos(1.17764119) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.38310473252309 × 6371000     		du = 116.985638825845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17765956)-sin(1.17764119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383087763999222-0.38310473252309)×R²
    abs(-0.04290353--0.04295146)×1.69685238678996e-05×R²
    4.79299999999946e-05×1.69685238678996e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×1.69685238678996e-05×40589641000000     		ar = 13691.1426148035m²