Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64632 / 75528
↖ ↑ ↗
← S 26.450902°
W  2.482910°		 ← 273.45 m → S 26.450902°
W  2.480164°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
S 26.453361°
W  2.482910°		 ← 273.45 m →
74 773 m²		 S 26.453361°
W  2.480164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493106842041016 y=0.576236724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493106842041016 × 217)
    floor (0.493106842041016 × 131072)
    floor (64632.5)     		tx = 64632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576236724853516 × 217)
    floor (0.576236724853516 × 131072)
    floor (75528.5)     		ty = 75528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64632 / 75528 ti = "17/64632/75528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64632/75528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64632 ÷ 217
    64632 ÷ 131072     		x = 0.49310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75528 ÷ 217
    75528 ÷ 131072     		y = 0.57623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04333496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57623291015625 × 2 - 1) × π
    -0.1524658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.478985501003601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04333496} λ = -0.04333496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.478985501003601))-π/2
    2×atan(0.6194114654723)-π/2
    2×0.554570496440489-π/2
    1.10914099288098-1.57079632675     		φ = -0.46165533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04333496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.482910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46165533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.450902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64632 KachelY 75528 -0.04333496 -0.46165533 -2.482910 -26.450902
    Oben rechts KachelX + 1 64633 KachelY 75528 -0.04328702 -0.46165533 -2.480164 -26.450902
    Unten links KachelX 64632 KachelY + 1 75529 -0.04333496 -0.46169825 -2.482910 -26.453361
    Unten rechts KachelX + 1 64633 KachelY + 1 75529 -0.04328702 -0.46169825 -2.480164 -26.453361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46165533--0.46169825) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46165533--0.46169825) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04333496--0.04328702) × cos(-0.46165533) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.895316389596988 × 6371000     		do = 273.452670826767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04333496--0.04328702) × cos(-0.46169825) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.895297270884105 × 6371000     		du = 273.446831479737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46165533)-sin(-0.46169825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895316389596988-0.895297270884105)×R²
    abs(-0.04328702--0.04333496)×1.91187128835146e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91187128835146e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91187128835146e-05×40589641000000     		ar = 74773.0078200814m²