Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64627 / 75514
↖ ↑ ↗
← S 26.416470°
W  2.496643°		 ← 273.53 m → S 26.416470°
W  2.493896°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
S 26.418930°
W  2.496643°		 ← 273.53 m →
74 813 m²		 S 26.418930°
W  2.493896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493068695068359 y=0.576129913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493068695068359 × 217)
    floor (0.493068695068359 × 131072)
    floor (64627.5)     		tx = 64627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576129913330078 × 217)
    floor (0.576129913330078 × 131072)
    floor (75514.5)     		ty = 75514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64627 / 75514 ti = "17/64627/75514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64627/75514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64627 ÷ 217
    64627 ÷ 131072     		x = 0.493064880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75514 ÷ 217
    75514 ÷ 131072     		y = 0.576126098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493064880371094 × 2 - 1) × π
    -0.0138702392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04357464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576126098632812 × 2 - 1) × π
    -0.152252197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.47831438440892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04357464} λ = -0.04357464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.47831438440892))-π/2
    2×atan(0.619827302307607)-π/2
    2×0.554870972174362-π/2
    1.10974194434872-1.57079632675     		φ = -0.46105438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04357464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.496643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46105438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.416470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64627 KachelY 75514 -0.04357464 -0.46105438 -2.496643 -26.416470
    Oben rechts KachelX + 1 64628 KachelY 75514 -0.04352670 -0.46105438 -2.493896 -26.416470
    Unten links KachelX 64627 KachelY + 1 75515 -0.04357464 -0.46109731 -2.496643 -26.418930
    Unten rechts KachelX + 1 64628 KachelY + 1 75515 -0.04352670 -0.46109731 -2.493896 -26.418930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46105438--0.46109731) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46105438--0.46109731) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04357464--0.04352670) × cos(-0.46105438) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.8955839095288 × 6371000     		do = 273.534378299906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04357464--0.04352670) × cos(-0.46109731) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.895564809462503 × 6371000     		du = 273.528544648023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46105438)-sin(-0.46109731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8955839095288-0.895564809462503)×R²
    abs(-0.04352670--0.04357464)×1.91000662966845e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91000662966845e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91000662966845e-05×40589641000000     		ar = 74812.7776507362m²