Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64623 / 77491
↖ ↑ ↗
← S 31.172860°
W  2.507629°		 ← 261.33 m → S 31.172860°
W  2.504883°		 →
↑
261.34 m
↓
↑
261.34 m
↓
S 31.175210°
W  2.507629°		 ← 261.32 m →
68 293 m²		 S 31.175210°
W  2.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493038177490234 y=0.591213226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493038177490234 × 217)
    floor (0.493038177490234 × 131072)
    floor (64623.5)     		tx = 64623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591213226318359 × 217)
    floor (0.591213226318359 × 131072)
    floor (77491.5)     		ty = 77491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64623 / 77491 ti = "17/64623/77491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64623/77491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64623 ÷ 217
    64623 ÷ 131072     		x = 0.493034362792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77491 ÷ 217
    77491 ÷ 131072     		y = 0.591209411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493034362792969 × 2 - 1) × π
    -0.0139312744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04376639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591209411621094 × 2 - 1) × π
    -0.182418823242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.573085634957771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04376639} λ = -0.04376639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573085634957771))-π/2
    2×atan(0.56378312309375)-π/2
    2×0.513363642532417-π/2
    1.02672728506483-1.57079632675     		φ = -0.54406904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04376639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.507629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54406904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.172860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64623 KachelY 77491 -0.04376639 -0.54406904 -2.507629 -31.172860
    Oben rechts KachelX + 1 64624 KachelY 77491 -0.04371845 -0.54406904 -2.504883 -31.172860
    Unten links KachelX 64623 KachelY + 1 77492 -0.04376639 -0.54411006 -2.507629 -31.175210
    Unten rechts KachelX + 1 64624 KachelY + 1 77492 -0.04371845 -0.54411006 -2.504883 -31.175210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54406904--0.54411006) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dl = 261.338419999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54406904--0.54411006) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dr = 261.338419999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04376639--0.04371845) × cos(-0.54406904) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.855609546652731 × 6371000     		do = 261.325178937493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04376639--0.04371845) × cos(-0.54411006) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.855588313087616 × 6371000     		du = 261.318693660155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54406904)-sin(-0.54411006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855609546652731-0.855588313087616)×R²
    abs(-0.04371845--0.04376639)×2.12335651142981e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.12335651142981e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.12335651142981e-05×40589641000000     		ar = 68293.4619530282m²