Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64623 / 75450
↖ ↑ ↗
← S 26.258936°
W  2.507629°		 ← 273.91 m → S 26.258936°
W  2.504883°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
S 26.261399°
W  2.507629°		 ← 273.90 m →
75 019 m²		 S 26.261399°
W  2.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493038177490234 y=0.575641632080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493038177490234 × 217)
    floor (0.493038177490234 × 131072)
    floor (64623.5)     		tx = 64623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575641632080078 × 217)
    floor (0.575641632080078 × 131072)
    floor (75450.5)     		ty = 75450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64623 / 75450 ti = "17/64623/75450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64623/75450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64623 ÷ 217
    64623 ÷ 131072     		x = 0.493034362792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75450 ÷ 217
    75450 ÷ 131072     		y = 0.575637817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493034362792969 × 2 - 1) × π
    -0.0139312744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04376639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575637817382812 × 2 - 1) × π
    -0.151275634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.475246422833237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04376639} λ = -0.04376639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475246422833237))-π/2
    2×atan(0.621731828667648)-π/2
    2×0.556245716943912-π/2
    1.11249143388782-1.57079632675     		φ = -0.45830489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04376639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.507629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45830489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.258936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64623 KachelY 75450 -0.04376639 -0.45830489 -2.507629 -26.258936
    Oben rechts KachelX + 1 64624 KachelY 75450 -0.04371845 -0.45830489 -2.504883 -26.258936
    Unten links KachelX 64623 KachelY + 1 75451 -0.04376639 -0.45834788 -2.507629 -26.261399
    Unten rechts KachelX + 1 64624 KachelY + 1 75451 -0.04371845 -0.45834788 -2.504883 -26.261399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45830489--0.45834788) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dl = 273.889289999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45830489--0.45834788) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dr = 273.889289999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04376639--0.04371845) × cos(-0.45830489) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.896803750683352 × 6371000     		do = 273.906949187257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04376639--0.04371845) × cos(-0.45834788) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.896784729850755 × 6371000     		du = 273.901139735385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45830489)-sin(-0.45834788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896803750683352-0.896784729850755)×R²
    abs(-0.04371845--0.04376639)×1.90208325978602e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.90208325978602e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.90208325978602e-05×40589641000000     		ar = 75019.3842771502m²