Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64622 / 75446
↖ ↑ ↗
← S 26.249083°
W  2.510376°		 ← 273.93 m → S 26.249083°
W  2.507629°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
S 26.251546°
W  2.510376°		 ← 273.92 m →
75 026 m²		 S 26.251546°
W  2.507629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493030548095703 y=0.575611114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493030548095703 × 217)
    floor (0.493030548095703 × 131072)
    floor (64622.5)     		tx = 64622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575611114501953 × 217)
    floor (0.575611114501953 × 131072)
    floor (75446.5)     		ty = 75446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64622 / 75446 ti = "17/64622/75446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64622/75446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64622 ÷ 217
    64622 ÷ 131072     		x = 0.493026733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75446 ÷ 217
    75446 ÷ 131072     		y = 0.575607299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493026733398438 × 2 - 1) × π
    -0.013946533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04381433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575607299804688 × 2 - 1) × π
    -0.151214599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.475054675234756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04381433} λ = -0.04381433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475054675234756))-π/2
    2×atan(0.621851055683075)-π/2
    2×0.556331700573258-π/2
    1.11266340114652-1.57079632675     		φ = -0.45813293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04381433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.510376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45813293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.249083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64622 KachelY 75446 -0.04381433 -0.45813293 -2.510376 -26.249083
    Oben rechts KachelX + 1 64623 KachelY 75446 -0.04376639 -0.45813293 -2.507629 -26.249083
    Unten links KachelX 64622 KachelY + 1 75447 -0.04381433 -0.45817592 -2.510376 -26.251546
    Unten rechts KachelX + 1 64623 KachelY + 1 75447 -0.04376639 -0.45817592 -2.507629 -26.251546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45813293--0.45817592) × R
    4.29900000000205e-05 × 6371000     		dl = 273.889290000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45813293--0.45817592) × R
    4.29900000000205e-05 × 6371000     		dr = 273.889290000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04381433--0.04376639) × cos(-0.45813293) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896879817439203 × 6371000     		do = 273.930181932412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04381433--0.04376639) × cos(-0.45817592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896860803236492 × 6371000     		du = 273.924374505479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45813293)-sin(-0.45817592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896879817439203-0.896860803236492)×R²
    abs(-0.04376639--0.04381433)×1.90142027111095e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90142027111095e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90142027111095e-05×40589641000000     		ar = 75025.7477546444m²