Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64620 / 75441
↖ ↑ ↗
← S 26.236766°
W  2.515869°		 ← 273.96 m → S 26.236766°
W  2.513122°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
S 26.239229°
W  2.515869°		 ← 273.95 m →
75 034 m²		 S 26.239229°
W  2.513122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493015289306641 y=0.575572967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493015289306641 × 217)
    floor (0.493015289306641 × 131072)
    floor (64620.5)     		tx = 64620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575572967529297 × 217)
    floor (0.575572967529297 × 131072)
    floor (75441.5)     		ty = 75441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64620 / 75441 ti = "17/64620/75441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64620/75441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64620 ÷ 217
    64620 ÷ 131072     		x = 0.493011474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75441 ÷ 217
    75441 ÷ 131072     		y = 0.575569152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.01397705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04391020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575569152832031 × 2 - 1) × π
    -0.151138305664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.474814990736656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04391020} λ = -0.04391020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.474814990736656))-π/2
    2×atan(0.622000121604931)-π/2
    2×0.556439190364308-π/2
    1.11287838072862-1.57079632675     		φ = -0.45791795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04391020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.515869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45791795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.236766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64620 KachelY 75441 -0.04391020 -0.45791795 -2.515869 -26.236766
    Oben rechts KachelX + 1 64621 KachelY 75441 -0.04386226 -0.45791795 -2.513122 -26.236766
    Unten links KachelX 64620 KachelY + 1 75442 -0.04391020 -0.45796094 -2.515869 -26.239229
    Unten rechts KachelX + 1 64621 KachelY + 1 75442 -0.04386226 -0.45796094 -2.513122 -26.239229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45791795--0.45796094) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dl = 273.889289999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45791795--0.45796094) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dr = 273.889289999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04391020--0.04386226) × cos(-0.45791795) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.896974876851109 × 6371000     		do = 273.959215523677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04391020--0.04386226) × cos(-0.45796094) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.896955870937704 × 6371000     		du = 273.953410628511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45791795)-sin(-0.45796094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896974876851109-0.896955870937704)×R²
    abs(-0.04386226--0.04391020)×1.90059134052012e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.90059134052012e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.90059134052012e-05×40589641000000     		ar = 75033.7000909558m²