Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64618 / 75438
↖ ↑ ↗
← S 26.229375°
W  2.521362°		 ← 273.92 m → S 26.229375°
W  2.518616°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
S 26.231838°
W  2.521362°		 ← 273.91 m →
75 040 m²		 S 26.231838°
W  2.518616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493000030517578 y=0.575550079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493000030517578 × 217)
    floor (0.493000030517578 × 131072)
    floor (64618.5)     		tx = 64618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575550079345703 × 217)
    floor (0.575550079345703 × 131072)
    floor (75438.5)     		ty = 75438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64618 / 75438 ti = "17/64618/75438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64618/75438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64618 ÷ 217
    64618 ÷ 131072     		x = 0.492996215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75438 ÷ 217
    75438 ÷ 131072     		y = 0.575546264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492996215820312 × 2 - 1) × π
    -0.014007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04400607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575546264648438 × 2 - 1) × π
    -0.151092529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.474671180037796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04400607} λ = -0.04400607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.474671180037796))-π/2
    2×atan(0.622089578309372)-π/2
    2×0.556503689706489-π/2
    1.11300737941298-1.57079632675     		φ = -0.45778895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04400607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.521362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45778895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.229375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64618 KachelY 75438 -0.04400607 -0.45778895 -2.521362 -26.229375
    Oben rechts KachelX + 1 64619 KachelY 75438 -0.04395814 -0.45778895 -2.518616 -26.229375
    Unten links KachelX 64618 KachelY + 1 75439 -0.04400607 -0.45783195 -2.521362 -26.231838
    Unten rechts KachelX + 1 64619 KachelY + 1 75439 -0.04395814 -0.45783195 -2.518616 -26.231838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45778895--0.45783195) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dl = 273.953000000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45778895--0.45783195) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dr = 273.953000000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04400607--0.04395814) × cos(-0.45778895) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.897031897903747 × 6371000     		do = 273.91948131865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04400607--0.04395814) × cos(-0.45783195) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.897012892544766 × 6371000     		du = 273.913677803651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45778895)-sin(-0.45783195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897031897903747-0.897012892544766)×R²
    abs(-0.04395814--0.04400607)×1.9005358981028e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.9005358981028e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.9005358981028e-05×40589641000000     		ar = 75040.2687321262m²