Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64613 / 27544
↖ ↑ ↗
← N 71.615214°
W  2.535095°		 ← 96.33 m → N 71.615214°
W  2.532349°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
N 71.614348°
W  2.535095°		 ← 96.33 m →
9 280 m²		 N 71.614348°
W  2.532349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492961883544922 y=0.210147857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492961883544922 × 217)
    floor (0.492961883544922 × 131072)
    floor (64613.5)     		tx = 64613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210147857666016 × 217)
    floor (0.210147857666016 × 131072)
    floor (27544.5)     		ty = 27544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64613 / 27544 ti = "17/64613/27544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64613/27544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64613 ÷ 217
    64613 ÷ 131072     		x = 0.492958068847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27544 ÷ 217
    27544 ÷ 131072     		y = 0.21014404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492958068847656 × 2 - 1) × π
    -0.0140838623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04424576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21014404296875 × 2 - 1) × π
    0.5797119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82121869036517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04424576} λ = -0.04424576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82121869036517))-π/2
    2×atan(6.1793846194153)-π/2
    2×1.41035880187973-π/2
    2.82071760375945-1.57079632675     		φ = 1.24992128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04424576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.535095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24992128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.615214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64613 KachelY 27544 -0.04424576 1.24992128 -2.535095 71.615214
    Oben rechts KachelX + 1 64614 KachelY 27544 -0.04419782 1.24992128 -2.532349 71.615214
    Unten links KachelX 64613 KachelY + 1 27545 -0.04424576 1.24990616 -2.535095 71.614348
    Unten rechts KachelX + 1 64614 KachelY + 1 27545 -0.04419782 1.24990616 -2.532349 71.614348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24992128-1.24990616) × R
    1.51199999998131e-05 × 6371000     		dl = 96.329519998809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24992128-1.24990616) × R
    1.51199999998131e-05 × 6371000     		dr = 96.329519998809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04424576--0.04419782) × cos(1.24992128) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.315397065487426 × 6371000     		do = 96.3303821203322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04424576--0.04419782) × cos(1.24990616) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.315411413723462 × 6371000     		du = 96.3347644409412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24992128)-sin(1.24990616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315397065487426-0.315411413723462)×R²
    abs(-0.04419782--0.04424576)×1.43482360360214e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.43482360360214e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.43482360360214e-05×40589641000000     		ar = 9279.67054458047m²