Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64612 / 77574
↖ ↑ ↗
← S 31.367709°
W  2.537842°		 ← 260.79 m → S 31.367709°
W  2.535095°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
S 31.370054°
W  2.537842°		 ← 260.78 m →
68 003 m²		 S 31.370054°
W  2.535095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492954254150391 y=0.591846466064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492954254150391 × 217)
    floor (0.492954254150391 × 131072)
    floor (64612.5)     		tx = 64612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591846466064453 × 217)
    floor (0.591846466064453 × 131072)
    floor (77574.5)     		ty = 77574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64612 / 77574 ti = "17/64612/77574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64612/77574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64612 ÷ 217
    64612 ÷ 131072     		x = 0.492950439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77574 ÷ 217
    77574 ÷ 131072     		y = 0.591842651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.01409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04429370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591842651367188 × 2 - 1) × π
    -0.183685302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.577064397626236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04429370} λ = -0.04429370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577064397626236))-π/2
    2×atan(0.561544420437076)-π/2
    2×0.511663263716471-π/2
    1.02332652743294-1.57079632675     		φ = -0.54746980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04429370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.537842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54746980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.367709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64612 KachelY 77574 -0.04429370 -0.54746980 -2.537842 -31.367709
    Oben rechts KachelX + 1 64613 KachelY 77574 -0.04424576 -0.54746980 -2.535095 -31.367709
    Unten links KachelX 64612 KachelY + 1 77575 -0.04429370 -0.54751073 -2.537842 -31.370054
    Unten rechts KachelX + 1 64613 KachelY + 1 77575 -0.04424576 -0.54751073 -2.535095 -31.370054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54746980--0.54751073) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dl = 260.765029999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54746980--0.54751073) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dr = 260.765029999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04429370--0.04424576) × cos(-0.54746980) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85384429498301 × 6371000     		do = 260.786025639944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04429370--0.04424576) × cos(-0.54751073) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.853822989036279 × 6371000     		du = 260.779518255397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54746980)-sin(-0.54751073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85384429498301-0.853822989036279)×R²
    abs(-0.04424576--0.04429370)×2.13059467307763e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13059467307763e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13059467307763e-05×40589641000000     		ar = 68003.027359883m²