Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64611 / 27546
↖ ↑ ↗
← N 71.613481°
W  2.540588°		 ← 96.32 m → N 71.613481°
W  2.537842°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
N 71.612615°
W  2.540588°		 ← 96.32 m →
9 279 m²		 N 71.612615°
W  2.537842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492946624755859 y=0.210163116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492946624755859 × 217)
    floor (0.492946624755859 × 131072)
    floor (64611.5)     		tx = 64611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210163116455078 × 217)
    floor (0.210163116455078 × 131072)
    floor (27546.5)     		ty = 27546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64611 / 27546 ti = "17/64611/27546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64611/27546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64611 ÷ 217
    64611 ÷ 131072     		x = 0.492942810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27546 ÷ 217
    27546 ÷ 131072     		y = 0.210159301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492942810058594 × 2 - 1) × π
    -0.0141143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04434163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210159301757812 × 2 - 1) × π
    0.579681396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82112281656593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04434163} λ = -0.04434163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82112281656593))-π/2
    2×atan(6.17879220673375)-π/2
    2×1.41034368203433-π/2
    2.82068736406866-1.57079632675     		φ = 1.24989104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04434163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.540588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24989104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.613481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64611 KachelY 27546 -0.04434163 1.24989104 -2.540588 71.613481
    Oben rechts KachelX + 1 64612 KachelY 27546 -0.04429370 1.24989104 -2.537842 71.613481
    Unten links KachelX 64611 KachelY + 1 27547 -0.04434163 1.24987592 -2.540588 71.612615
    Unten rechts KachelX + 1 64612 KachelY + 1 27547 -0.04429370 1.24987592 -2.537842 71.612615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24989104-1.24987592) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dl = 96.3295200002237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24989104-1.24987592) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dr = 96.3295200002237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04434163--0.04429370) × cos(1.24989104) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.315425761887391 × 6371000     		do = 96.3190509642336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04434163--0.04429370) × cos(1.24987592) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.315440109979209 × 6371000     		du = 96.3234323266776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24989104)-sin(1.24987592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315425761887391-0.315440109979209)×R²
    abs(-0.04429370--0.04434163)×1.43480918177175e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43480918177175e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43480918177175e-05×40589641000000     		ar = 9278.57897360949m²