Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64601 / 75453
↖ ↑ ↗
← S 26.266325°
W  2.568054°		 ← 273.89 m → S 26.266325°
W  2.565307°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
S 26.268789°
W  2.568054°		 ← 273.88 m →
75 015 m²		 S 26.268789°
W  2.565307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492870330810547 y=0.575664520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492870330810547 × 217)
    floor (0.492870330810547 × 131072)
    floor (64601.5)     		tx = 64601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575664520263672 × 217)
    floor (0.575664520263672 × 131072)
    floor (75453.5)     		ty = 75453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64601 / 75453 ti = "17/64601/75453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64601/75453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64601 ÷ 217
    64601 ÷ 131072     		x = 0.492866516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75453 ÷ 217
    75453 ÷ 131072     		y = 0.575660705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492866516113281 × 2 - 1) × π
    -0.0142669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04482100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575660705566406 × 2 - 1) × π
    -0.151321411132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.475390233532097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04482100} λ = -0.04482100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475390233532097))-π/2
    2×atan(0.621642423407734)-π/2
    2×0.556181234008536-π/2
    1.11236246801707-1.57079632675     		φ = -0.45843386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04482100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.568054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45843386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.266325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64601 KachelY 75453 -0.04482100 -0.45843386 -2.568054 -26.266325
    Oben rechts KachelX + 1 64602 KachelY 75453 -0.04477306 -0.45843386 -2.565307 -26.266325
    Unten links KachelX 64601 KachelY + 1 75454 -0.04482100 -0.45847685 -2.568054 -26.268789
    Unten rechts KachelX + 1 64602 KachelY + 1 75454 -0.04477306 -0.45847685 -2.565307 -26.268789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45843386--0.45847685) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dl = 273.889289999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45843386--0.45847685) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dr = 273.889289999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04482100--0.04477306) × cos(-0.45843386) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896746683213442 × 6371000     		do = 273.88951931299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04482100--0.04477306) × cos(-0.45847685) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896727657408798 × 6371000     		du = 273.883708342528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45843386)-sin(-0.45847685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896746683213442-0.896727657408798)×R²
    abs(-0.04477306--0.04482100)×1.90258046439684e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90258046439684e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90258046439684e-05×40589641000000     		ar = 75014.6102133149m²