Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64601 / 27446
↖ ↑ ↗
← N 71.699919°
W  2.568054°		 ← 95.90 m → N 71.699919°
W  2.565307°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
N 71.699056°
W  2.568054°		 ← 95.91 m →
9 202 m²		 N 71.699056°
W  2.565307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492870330810547 y=0.209400177001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492870330810547 × 217)
    floor (0.492870330810547 × 131072)
    floor (64601.5)     		tx = 64601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209400177001953 × 217)
    floor (0.209400177001953 × 131072)
    floor (27446.5)     		ty = 27446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64601 / 27446 ti = "17/64601/27446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64601/27446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64601 ÷ 217
    64601 ÷ 131072     		x = 0.492866516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27446 ÷ 217
    27446 ÷ 131072     		y = 0.209396362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492866516113281 × 2 - 1) × π
    -0.0142669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04482100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209396362304688 × 2 - 1) × π
    0.581207275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82591650652794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04482100} λ = -0.04482100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82591650652794))-π/2
    2×atan(6.20848252715235)-π/2
    2×1.41109799144025-π/2
    2.8221959828805-1.57079632675     		φ = 1.25139966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04482100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.568054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25139966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.699919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64601 KachelY 27446 -0.04482100 1.25139966 -2.568054 71.699919
    Oben rechts KachelX + 1 64602 KachelY 27446 -0.04477306 1.25139966 -2.565307 71.699919
    Unten links KachelX 64601 KachelY + 1 27447 -0.04482100 1.25138460 -2.568054 71.699056
    Unten rechts KachelX + 1 64602 KachelY + 1 27447 -0.04477306 1.25138460 -2.565307 71.699056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25139966-1.25138460) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25139966-1.25138460) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04482100--0.04477306) × cos(1.25139966) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.313993798150838 × 6371000     		do = 95.901788155623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04482100--0.04477306) × cos(1.25138460) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.314008096456238 × 6371000     		du = 95.9061552261306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25139966)-sin(1.25138460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313993798150838-0.314008096456238)×R²
    abs(-0.04477306--0.04482100)×1.42983054003398e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.42983054003398e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.42983054003398e-05×40589641000000     		ar = 9201.72330706927m²