Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64600 / 27607
↖ ↑ ↗
← N 71.560561°
W  2.570801°		 ← 96.61 m → N 71.560561°
W  2.568054°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
N 71.559692°
W  2.570801°		 ← 96.61 m →
9 331 m²		 N 71.559692°
W  2.568054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492862701416016 y=0.210628509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492862701416016 × 217)
    floor (0.492862701416016 × 131072)
    floor (64600.5)     		tx = 64600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210628509521484 × 217)
    floor (0.210628509521484 × 131072)
    floor (27607.5)     		ty = 27607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64600 / 27607 ti = "17/64600/27607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64600/27607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64600 ÷ 217
    64600 ÷ 131072     		x = 0.49285888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27607 ÷ 217
    27607 ÷ 131072     		y = 0.210624694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.0142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04486894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210624694824219 × 2 - 1) × π
    0.578750610351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.81819866568911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04486894} λ = -0.04486894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81819866568911))-π/2
    2×atan(6.16075087672563)-π/2
    2×1.40988186539187-π/2
    2.81976373078374-1.57079632675     		φ = 1.24896740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04486894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.570801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24896740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.560561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64600 KachelY 27607 -0.04486894 1.24896740 -2.570801 71.560561
    Oben rechts KachelX + 1 64601 KachelY 27607 -0.04482100 1.24896740 -2.568054 71.560561
    Unten links KachelX 64600 KachelY + 1 27608 -0.04486894 1.24895224 -2.570801 71.559692
    Unten rechts KachelX + 1 64601 KachelY + 1 27608 -0.04482100 1.24895224 -2.568054 71.559692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24896740-1.24895224) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24896740-1.24895224) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04486894--0.04482100) × cos(1.24896740) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.316302115630842 × 6371000     		do = 96.606807730122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04486894--0.04482100) × cos(1.24895224) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.31631649725753 × 6371000     		du = 96.6112002490956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24896740)-sin(1.24895224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316302115630842-0.31631649725753)×R²
    abs(-0.04482100--0.04486894)×1.43816266883201e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.43816266883201e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.43816266883201e-05×40589641000000     		ar = 9330.91882079868m²