Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 646 / 390
↖ ↑ ↗
← N 81.011194°
W123.222656°		 ← 1 526.95 m → N 81.011194°
W123.134765°		 →
↑
1 528.08 m
↓
↑
1 528.08 m
↓
N 80.997452°
W123.222656°		 ← 1 529.26 m →
2 335 071 m²		 N 80.997452°
W123.134765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1578369140625 y=0.0953369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1578369140625 × 212)
    floor (0.1578369140625 × 4096)
    floor (646.5)     		tx = 646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0953369140625 × 212)
    floor (0.0953369140625 × 4096)
    floor (390.5)     		ty = 390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 646 / 390 ti = "12/646/390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/646/390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 646 ÷ 212
    646 ÷ 4096     		x = 0.15771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 390 ÷ 212
    390 ÷ 4096     		y = 0.09521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15771484375 × 2 - 1) × π
    -0.6845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15064106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09521484375 × 2 - 1) × π
    0.8095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5433401462417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15064106} λ = -2.15064106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5433401462417))-π/2
    2×atan(12.7220937358516)-π/2
    2×1.49235419902427-π/2
    2.98470839804853-1.57079632675     		φ = 1.41391207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15064106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41391207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.011194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 646 KachelY 390 -2.15064106 1.41391207 -123.222656 81.011194
    Oben rechts KachelX + 1 647 KachelY 390 -2.14910708 1.41391207 -123.134765 81.011194
    Unten links KachelX 646 KachelY + 1 391 -2.15064106 1.41367222 -123.222656 80.997452
    Unten rechts KachelX + 1 647 KachelY + 1 391 -2.14910708 1.41367222 -123.134765 80.997452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41391207-1.41367222) × R
    0.000239850000000041 × 6371000     		dl = 1528.08435000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41391207-1.41367222) × R
    0.000239850000000041 × 6371000     		dr = 1528.08435000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15064106--2.14910708) × cos(1.41391207) × R
    0.00153398000000005 × 0.156241491572525 × 6371000     		do = 1526.94600037751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15064106--2.14910708) × cos(1.41367222) × R
    0.00153398000000005 × 0.156478391450753 × 6371000     		du = 1529.26121970824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41391207)-sin(1.41367222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156241491572525-0.156478391450753)×R²
    abs(-2.14910708--2.15064106)×0.000236899878227642×R²
    0.00153398000000005×0.000236899878227642×6371000²
    0.00153398000000005×0.000236899878227642×40589641000000     		ar = 2335071.22287733m²