Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64599 / 27609
↖ ↑ ↗
← N 71.558824°
W  2.573547°		 ← 96.60 m → N 71.558824°
W  2.570801°		 →
↑
96.65 m
↓
↑
96.65 m
↓
N 71.557954°
W  2.573547°		 ← 96.60 m →
9 336 m²		 N 71.557954°
W  2.570801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492855072021484 y=0.210643768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492855072021484 × 217)
    floor (0.492855072021484 × 131072)
    floor (64599.5)     		tx = 64599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210643768310547 × 217)
    floor (0.210643768310547 × 131072)
    floor (27609.5)     		ty = 27609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64599 / 27609 ti = "17/64599/27609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64599/27609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64599 ÷ 217
    64599 ÷ 131072     		x = 0.492851257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27609 ÷ 217
    27609 ÷ 131072     		y = 0.210639953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492851257324219 × 2 - 1) × π
    -0.0142974853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04491687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210639953613281 × 2 - 1) × π
    0.578720092773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.81810279188987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04491687} λ = -0.04491687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81810279188987))-π/2
    2×atan(6.16016025044615)-π/2
    2×1.40986670215974-π/2
    2.81973340431948-1.57079632675     		φ = 1.24893708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04491687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.573547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24893708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.558824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64599 KachelY 27609 -0.04491687 1.24893708 -2.573547 71.558824
    Oben rechts KachelX + 1 64600 KachelY 27609 -0.04486894 1.24893708 -2.570801 71.558824
    Unten links KachelX 64599 KachelY + 1 27610 -0.04491687 1.24892191 -2.573547 71.557954
    Unten rechts KachelX + 1 64600 KachelY + 1 27610 -0.04486894 1.24892191 -2.570801 71.557954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24893708-1.24892191) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dl = 96.6480699997023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24893708-1.24892191) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dr = 96.6480699997023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04491687--0.04486894) × cos(1.24893708) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.316330878811521 × 6371000     		do = 96.5954393055591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04491687--0.04486894) × cos(1.24892191) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.316345269779252 × 6371000     		du = 96.5998337606791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24893708)-sin(1.24892191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316330878811521-0.316345269779252)×R²
    abs(-0.04486894--0.04491687)×1.43909677309262e-05×R²
    4.79299999999946e-05×1.43909677309262e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×1.43909677309262e-05×40589641000000     		ar = 9335.97513770544m²