Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64596 / 27532
↖ ↑ ↗
← N 71.625606°
W  2.581787°		 ← 96.28 m → N 71.625606°
W  2.579041°		 →
↑
96.27 m
↓
↑
96.27 m
↓
N 71.624741°
W  2.581787°		 ← 96.28 m →
9 268 m²		 N 71.624741°
W  2.579041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492832183837891 y=0.210056304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492832183837891 × 217)
    floor (0.492832183837891 × 131072)
    floor (64596.5)     		tx = 64596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210056304931641 × 217)
    floor (0.210056304931641 × 131072)
    floor (27532.5)     		ty = 27532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64596 / 27532 ti = "17/64596/27532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64596/27532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64596 ÷ 217
    64596 ÷ 131072     		x = 0.492828369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27532 ÷ 217
    27532 ÷ 131072     		y = 0.210052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492828369140625 × 2 - 1) × π
    -0.01434326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04506069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210052490234375 × 2 - 1) × π
    0.57989501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82179393316061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04506069} λ = -0.04506069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82179393316061))-π/2
    2×atan(6.18294028848633)-π/2
    2×1.41044949206953-π/2
    2.82089898413907-1.57079632675     		φ = 1.25010266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04506069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.581787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25010266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.625606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64596 KachelY 27532 -0.04506069 1.25010266 -2.581787 71.625606
    Oben rechts KachelX + 1 64597 KachelY 27532 -0.04501275 1.25010266 -2.579041 71.625606
    Unten links KachelX 64596 KachelY + 1 27533 -0.04506069 1.25008755 -2.581787 71.624741
    Unten rechts KachelX + 1 64597 KachelY + 1 27533 -0.04501275 1.25008755 -2.579041 71.624741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25010266-1.25008755) × R
    1.51100000000959e-05 × 6371000     		dl = 96.2658100006109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25010266-1.25008755) × R
    1.51100000000959e-05 × 6371000     		dr = 96.2658100006109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04506069--0.04501275) × cos(1.25010266) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.315224937972814 × 6371000     		do = 96.2778099468072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04506069--0.04501275) × cos(1.25008755) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.315239277583477 × 6371000     		du = 96.2821896330054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25010266)-sin(1.25008755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315224937972814-0.315239277583477)×R²
    abs(-0.04501275--0.04506069)×1.43396106633276e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.43396106633276e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.43396106633276e-05×40589641000000     		ar = 9268.47216669752m²