Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64592 / 27535
↖ ↑ ↗
← N 71.623009°
W  2.592773°		 ← 96.27 m → N 71.623009°
W  2.590027°		 →
↑
96.27 m
↓
↑
96.27 m
↓
N 71.622143°
W  2.592773°		 ← 96.28 m →
9 268 m²		 N 71.622143°
W  2.590027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492801666259766 y=0.210079193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492801666259766 × 217)
    floor (0.492801666259766 × 131072)
    floor (64592.5)     		tx = 64592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210079193115234 × 217)
    floor (0.210079193115234 × 131072)
    floor (27535.5)     		ty = 27535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64592 / 27535 ti = "17/64592/27535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64592/27535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64592 ÷ 217
    64592 ÷ 131072     		x = 0.4927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27535 ÷ 217
    27535 ÷ 131072     		y = 0.210075378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04525243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210075378417969 × 2 - 1) × π
    0.579849243164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.82165012246175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04525243} λ = -0.04525243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82165012246175))-π/2
    2×atan(6.18205117945566)-π/2
    2×1.41042682416324-π/2
    2.82085364832648-1.57079632675     		φ = 1.25005732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04525243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.592773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25005732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.623009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64592 KachelY 27535 -0.04525243 1.25005732 -2.592773 71.623009
    Oben rechts KachelX + 1 64593 KachelY 27535 -0.04520450 1.25005732 -2.590027 71.623009
    Unten links KachelX 64592 KachelY + 1 27536 -0.04525243 1.25004221 -2.592773 71.622143
    Unten rechts KachelX + 1 64593 KachelY + 1 27536 -0.04520450 1.25004221 -2.590027 71.622143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25005732-1.25004221) × R
    1.51100000000959e-05 × 6371000     		dl = 96.2658100006109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25005732-1.25004221) × R
    1.51100000000959e-05 × 6371000     		dr = 96.2658100006109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04525243--0.04520450) × cos(1.25005732) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.315267966078908 × 6371000     		do = 96.2708661158297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04525243--0.04520450) × cos(1.25004221) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.315282305473595 × 6371000     		du = 96.2752448225003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25005732)-sin(1.25004221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315267966078908-0.315282305473595)×R²
    abs(-0.04520450--0.04525243)×1.43393946870352e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43393946870352e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43393946870352e-05×40589641000000     		ar = 9267.80366623516m²