Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64591 / 27602
↖ ↑ ↗
← N 71.564904°
W  2.595520°		 ← 96.58 m → N 71.564904°
W  2.592773°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
N 71.564036°
W  2.595520°		 ← 96.59 m →
9 329 m²		 N 71.564036°
W  2.592773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492794036865234 y=0.210590362548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492794036865234 × 217)
    floor (0.492794036865234 × 131072)
    floor (64591.5)     		tx = 64591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210590362548828 × 217)
    floor (0.210590362548828 × 131072)
    floor (27602.5)     		ty = 27602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64591 / 27602 ti = "17/64591/27602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64591/27602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64591 ÷ 217
    64591 ÷ 131072     		x = 0.492790222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27602 ÷ 217
    27602 ÷ 131072     		y = 0.210586547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492790222167969 × 2 - 1) × π
    -0.0144195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04530037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210586547851562 × 2 - 1) × π
    0.578826904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81843835018721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04530037} λ = -0.04530037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81843835018721))-π/2
    2×atan(6.16222769018502)-π/2
    2×1.40991976743907-π/2
    2.81983953487815-1.57079632675     		φ = 1.24904321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04530037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.595520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24904321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.564904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64591 KachelY 27602 -0.04530037 1.24904321 -2.595520 71.564904
    Oben rechts KachelX + 1 64592 KachelY 27602 -0.04525243 1.24904321 -2.592773 71.564904
    Unten links KachelX 64591 KachelY + 1 27603 -0.04530037 1.24902805 -2.595520 71.564036
    Unten rechts KachelX + 1 64592 KachelY + 1 27603 -0.04525243 1.24902805 -2.592773 71.564036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24904321-1.24902805) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24904321-1.24902805) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04530037--0.04525243) × cos(1.24904321) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.316230196920227 × 6371000     		do = 96.5848419046986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04530037--0.04525243) × cos(1.24902805) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.316244578910402 × 6371000     		du = 96.5892345346904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24904321)-sin(1.24902805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316230196920227-0.316244578910402)×R²
    abs(-0.04525243--0.04530037)×1.43819901747833e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43819901747833e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43819901747833e-05×40589641000000     		ar = 9328.79727103829m²