Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64590 / 27600
↖ ↑ ↗
← N 71.566641°
W  2.598267°		 ← 96.58 m → N 71.566641°
W  2.595520°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
N 71.565773°
W  2.598267°		 ← 96.58 m →
9 322 m²		 N 71.565773°
W  2.595520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492786407470703 y=0.210575103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492786407470703 × 217)
    floor (0.492786407470703 × 131072)
    floor (64590.5)     		tx = 64590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210575103759766 × 217)
    floor (0.210575103759766 × 131072)
    floor (27600.5)     		ty = 27600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64590 / 27600 ti = "17/64590/27600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64590/27600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64590 ÷ 217
    64590 ÷ 131072     		x = 0.492782592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27600 ÷ 217
    27600 ÷ 131072     		y = 0.2105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492782592773438 × 2 - 1) × π
    -0.014434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04534831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2105712890625 × 2 - 1) × π
    0.578857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81853422398645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04534831} λ = -0.04534831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81853422398645))-π/2
    2×atan(6.1628185146873)-π/2
    2×1.409934925845-π/2
    2.81986985169-1.57079632675     		φ = 1.24907352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04534831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.598267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24907352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.566641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64590 KachelY 27600 -0.04534831 1.24907352 -2.598267 71.566641
    Oben rechts KachelX + 1 64591 KachelY 27600 -0.04530037 1.24907352 -2.595520 71.566641
    Unten links KachelX 64590 KachelY + 1 27601 -0.04534831 1.24905837 -2.598267 71.565773
    Unten rechts KachelX + 1 64591 KachelY + 1 27601 -0.04530037 1.24905837 -2.595520 71.565773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24907352-1.24905837) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dl = 96.5206500004767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24907352-1.24905837) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dr = 96.5206500004767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04534831--0.04530037) × cos(1.24907352) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.316201442208768 × 6371000     		do = 96.5760594756867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04534831--0.04530037) × cos(1.24905837) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.316215814857374 × 6371000     		du = 96.5804492525231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24907352)-sin(1.24905837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316201442208768-0.316215814857374)×R²
    abs(-0.04530037--0.04534831)×1.43726486063755e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.43726486063755e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.43726486063755e-05×40589641000000     		ar = 9321.79588741796m²