Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64586 / 75434
↖ ↑ ↗
← S 26.219519°
W  2.609253°		 ← 273.94 m → S 26.219519°
W  2.606506°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
S 26.221983°
W  2.609253°		 ← 273.94 m →
75 047 m²		 S 26.221983°
W  2.606506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492755889892578 y=0.575519561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492755889892578 × 217)
    floor (0.492755889892578 × 131072)
    floor (64586.5)     		tx = 64586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575519561767578 × 217)
    floor (0.575519561767578 × 131072)
    floor (75434.5)     		ty = 75434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64586 / 75434 ti = "17/64586/75434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64586/75434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64586 ÷ 217
    64586 ÷ 131072     		x = 0.492752075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75434 ÷ 217
    75434 ÷ 131072     		y = 0.575515747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492752075195312 × 2 - 1) × π
    -0.014495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04554005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575515747070312 × 2 - 1) × π
    -0.151031494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.474479432439316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04554005} λ = -0.04554005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.474479432439316))-π/2
    2×atan(0.622208873929011)-π/2
    2×0.556589695206522-π/2
    1.11317939041304-1.57079632675     		φ = -0.45761694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04554005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.609253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45761694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.219519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64586 KachelY 75434 -0.04554005 -0.45761694 -2.609253 -26.219519
    Oben rechts KachelX + 1 64587 KachelY 75434 -0.04549212 -0.45761694 -2.606506 -26.219519
    Unten links KachelX 64586 KachelY + 1 75435 -0.04554005 -0.45765994 -2.609253 -26.221983
    Unten rechts KachelX + 1 64587 KachelY + 1 75435 -0.04549212 -0.45765994 -2.606506 -26.221983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45761694--0.45765994) × R
    4.29999999999597e-05 × 6371000     		dl = 273.952999999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45761694--0.45765994) × R
    4.29999999999597e-05 × 6371000     		dr = 273.952999999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04554005--0.04549212) × cos(-0.45761694) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.897107907171315 × 6371000     		do = 273.942691662893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04554005--0.04549212) × cos(-0.45765994) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.897088908447379 × 6371000     		du = 273.936890173985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45761694)-sin(-0.45765994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897107907171315-0.897088908447379)×R²
    abs(-0.04549212--0.04554005)×1.89987239365141e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.89987239365141e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.89987239365141e-05×40589641000000     		ar = 75046.6275529836m²