Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64584 / 75432
↖ ↑ ↗
← S 26.214591°
W  2.614746°		 ← 274.01 m → S 26.214591°
W  2.611999°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
S 26.217055°
W  2.614746°		 ← 274.01 m →
75 065 m²		 S 26.217055°
W  2.611999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492740631103516 y=0.575504302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492740631103516 × 217)
    floor (0.492740631103516 × 131072)
    floor (64584.5)     		tx = 64584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575504302978516 × 217)
    floor (0.575504302978516 × 131072)
    floor (75432.5)     		ty = 75432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64584 / 75432 ti = "17/64584/75432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64584/75432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64584 ÷ 217
    64584 ÷ 131072     		x = 0.49273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75432 ÷ 217
    75432 ÷ 131072     		y = 0.57550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.0145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04563593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57550048828125 × 2 - 1) × π
    -0.1510009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.474383558640076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04563593} λ = -0.04563593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.474383558640076))-π/2
    2×atan(0.622268530317372)-π/2
    2×0.55663270068905-π/2
    1.1132654013781-1.57079632675     		φ = -0.45753093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04563593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.614746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45753093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.214591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64584 KachelY 75432 -0.04563593 -0.45753093 -2.614746 -26.214591
    Oben rechts KachelX + 1 64585 KachelY 75432 -0.04558799 -0.45753093 -2.611999 -26.214591
    Unten links KachelX 64584 KachelY + 1 75433 -0.04563593 -0.45757393 -2.614746 -26.217055
    Unten rechts KachelX + 1 64585 KachelY + 1 75433 -0.04558799 -0.45757393 -2.611999 -26.217055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45753093--0.45757393) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dl = 273.953000000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45753093--0.45757393) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dr = 273.953000000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04563593--0.04558799) × cos(-0.45753093) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.897145904060239 × 6371000     		do = 274.011451635546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04563593--0.04558799) × cos(-0.45757393) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.897126908654228 × 6371000     		du = 274.005649949609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45753093)-sin(-0.45757393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897145904060239-0.897126908654228)×R²
    abs(-0.04558799--0.04563593)×1.89954060105801e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89954060105801e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89954060105801e-05×40589641000000     		ar = 75065.4645268583m²