Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64581 / 27687
↖ ↑ ↗
← N 71.490934°
W  2.622986°		 ← 96.96 m → N 71.490934°
W  2.620239°		 →
↑
96.97 m
↓
↑
96.97 m
↓
N 71.490062°
W  2.622986°		 ← 96.96 m →
9 402 m²		 N 71.490062°
W  2.620239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492717742919922 y=0.211238861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492717742919922 × 217)
    floor (0.492717742919922 × 131072)
    floor (64581.5)     		tx = 64581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211238861083984 × 217)
    floor (0.211238861083984 × 131072)
    floor (27687.5)     		ty = 27687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64581 / 27687 ti = "17/64581/27687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64581/27687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64581 ÷ 217
    64581 ÷ 131072     		x = 0.492713928222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27687 ÷ 217
    27687 ÷ 131072     		y = 0.211235046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492713928222656 × 2 - 1) × π
    -0.0145721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04577974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211235046386719 × 2 - 1) × π
    0.577529907226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.81436371371951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04577974} λ = -0.04577974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81436371371951))-π/2
    2×atan(6.1371699378009)-π/2
    2×1.40927425925402-π/2
    2.81854851850804-1.57079632675     		φ = 1.24775219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04577974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.622986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24775219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.490934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64581 KachelY 27687 -0.04577974 1.24775219 -2.622986 71.490934
    Oben rechts KachelX + 1 64582 KachelY 27687 -0.04573180 1.24775219 -2.620239 71.490934
    Unten links KachelX 64581 KachelY + 1 27688 -0.04577974 1.24773697 -2.622986 71.490062
    Unten rechts KachelX + 1 64582 KachelY + 1 27688 -0.04573180 1.24773697 -2.620239 71.490062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24775219-1.24773697) × R
    1.52199999998714e-05 × 6371000     		dl = 96.966619999181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24775219-1.24773697) × R
    1.52199999998714e-05 × 6371000     		dr = 96.966619999181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04577974--0.04573180) × cos(1.24775219) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.317454701109771 × 6371000     		do = 96.9588370029231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04577974--0.04573180) × cos(1.24773697) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.317469133794724 × 6371000     		du = 96.9632451164051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24775219)-sin(1.24773697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317454701109771-0.317469133794724)×R²
    abs(-0.04573180--0.04577974)×1.44326849529919e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44326849529919e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44326849529919e-05×40589641000000     		ar = 9401.98442335555m²