Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64574 / 27450
↖ ↑ ↗
← N 71.696469°
W  2.642212°		 ← 95.92 m → N 71.696469°
W  2.639465°		 →
↑
95.88 m
↓
↑
95.88 m
↓
N 71.695606°
W  2.642212°		 ← 95.92 m →
9 197 m²		 N 71.695606°
W  2.639465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492664337158203 y=0.209430694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492664337158203 × 217)
    floor (0.492664337158203 × 131072)
    floor (64574.5)     		tx = 64574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209430694580078 × 217)
    floor (0.209430694580078 × 131072)
    floor (27450.5)     		ty = 27450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64574 / 27450 ti = "17/64574/27450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64574/27450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64574 ÷ 217
    64574 ÷ 131072     		x = 0.492660522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27450 ÷ 217
    27450 ÷ 131072     		y = 0.209426879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492660522460938 × 2 - 1) × π
    -0.014678955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04611530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209426879882812 × 2 - 1) × π
    0.581146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82572475892946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04611530} λ = -0.04611530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82572475892946))-π/2
    2×atan(6.20729217966435)-π/2
    2×1.41106788492118-π/2
    2.82213576984237-1.57079632675     		φ = 1.25133944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04611530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.642212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25133944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.696469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64574 KachelY 27450 -0.04611530 1.25133944 -2.642212 71.696469
    Oben rechts KachelX + 1 64575 KachelY 27450 -0.04606736 1.25133944 -2.639465 71.696469
    Unten links KachelX 64574 KachelY + 1 27451 -0.04611530 1.25132439 -2.642212 71.695606
    Unten rechts KachelX + 1 64575 KachelY + 1 27451 -0.04606736 1.25132439 -2.639465 71.695606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25133944-1.25132439) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dl = 95.8835500001047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25133944-1.25132439) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dr = 95.8835500001047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04611530--0.04606736) × cos(1.25133944) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.314050971956995 × 6371000     		do = 95.9192505076771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04611530--0.04606736) × cos(1.25132439) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.314065260483584 × 6371000     		du = 95.9236145914841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25133944)-sin(1.25132439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314050971956995-0.314065260483584)×R²
    abs(-0.04606736--0.04611530)×1.42885265889126e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.42885265889126e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.42885265889126e-05×40589641000000     		ar = 9197.28747415764m²