Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64566 / 27574
↖ ↑ ↗
← N 71.589208°
W  2.664184°		 ← 96.44 m → N 71.589208°
W  2.661438°		 →
↑
96.46 m
↓
↑
96.46 m
↓
N 71.588341°
W  2.664184°		 ← 96.45 m →
9 303 m²		 N 71.588341°
W  2.661438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492603302001953 y=0.210376739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492603302001953 × 217)
    floor (0.492603302001953 × 131072)
    floor (64566.5)     		tx = 64566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210376739501953 × 217)
    floor (0.210376739501953 × 131072)
    floor (27574.5)     		ty = 27574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64566 / 27574 ti = "17/64566/27574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64566/27574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64566 ÷ 217
    64566 ÷ 131072     		x = 0.492599487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27574 ÷ 217
    27574 ÷ 131072     		y = 0.210372924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492599487304688 × 2 - 1) × π
    -0.014801025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04649879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210372924804688 × 2 - 1) × π
    0.579254150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81978058337657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04649879} λ = -0.04649879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81978058337657))-π/2
    2×atan(6.17050439009925)-π/2
    2×1.41013185970399-π/2
    2.82026371940798-1.57079632675     		φ = 1.24946739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04649879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.664184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24946739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.589208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64566 KachelY 27574 -0.04649879 1.24946739 -2.664184 71.589208
    Oben rechts KachelX + 1 64567 KachelY 27574 -0.04645086 1.24946739 -2.661438 71.589208
    Unten links KachelX 64566 KachelY + 1 27575 -0.04649879 1.24945225 -2.664184 71.588341
    Unten rechts KachelX + 1 64567 KachelY + 1 27575 -0.04645086 1.24945225 -2.661438 71.588341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24946739-1.24945225) × R
    1.51399999999136e-05 × 6371000     		dl = 96.4569399994493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24946739-1.24945225) × R
    1.51399999999136e-05 × 6371000     		dr = 96.4569399994493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04649879--0.04645086) × cos(1.24946739) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.315827756345203 × 6371000     		do = 96.4418048079197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04649879--0.04645086) × cos(1.24945225) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.315842121391435 × 6371000     		du = 96.4461913475982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24946739)-sin(1.24945225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315827756345203-0.315842121391435)×R²
    abs(-0.04645086--0.04649879)×1.43650462319234e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43650462319234e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43650462319234e-05×40589641000000     		ar = 9302.69293603771m²