Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64565 / 27595
↖ ↑ ↗
← N 71.570983°
W  2.666931°		 ← 96.55 m → N 71.570983°
W  2.664184°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
N 71.570115°
W  2.666931°		 ← 96.56 m →
9 320 m²		 N 71.570115°
W  2.664184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492595672607422 y=0.210536956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492595672607422 × 217)
    floor (0.492595672607422 × 131072)
    floor (64565.5)     		tx = 64565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210536956787109 × 217)
    floor (0.210536956787109 × 131072)
    floor (27595.5)     		ty = 27595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64565 / 27595 ti = "17/64565/27595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64565/27595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64565 ÷ 217
    64565 ÷ 131072     		x = 0.492591857910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27595 ÷ 217
    27595 ÷ 131072     		y = 0.210533142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492591857910156 × 2 - 1) × π
    -0.0148162841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04654673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210533142089844 × 2 - 1) × π
    0.578933715820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.81877390848455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04654673} λ = -0.04654673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81877390848455))-π/2
    2×atan(6.16429582378685)-π/2
    2×1.40997281582839-π/2
    2.81994563165678-1.57079632675     		φ = 1.24914930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04654673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.666931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24914930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.570983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64565 KachelY 27595 -0.04654673 1.24914930 -2.666931 71.570983
    Oben rechts KachelX + 1 64566 KachelY 27595 -0.04649879 1.24914930 -2.664184 71.570983
    Unten links KachelX 64565 KachelY + 1 27596 -0.04654673 1.24913415 -2.666931 71.570115
    Unten rechts KachelX + 1 64566 KachelY + 1 27596 -0.04649879 1.24913415 -2.664184 71.570115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24914930-1.24913415) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dl = 96.5206500004767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24914930-1.24913415) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dr = 96.5206500004767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04654673--0.04649879) × cos(1.24914930) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.316129549415691 × 6371000     		do = 96.5541015661606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04654673--0.04649879) × cos(1.24913415) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.316143922427285 × 6371000     		du = 96.5584914538627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24914930)-sin(1.24913415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316129549415691-0.316143922427285)×R²
    abs(-0.04649879--0.04654673)×1.43730115937934e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.43730115937934e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.43730115937934e-05×40589641000000     		ar = 9319.67650103018m²