Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64557 / 27669
↖ ↑ ↗
← N 71.506623°
W  2.688904°		 ← 96.86 m → N 71.506623°
W  2.686157°		 →
↑
96.90 m
↓
↑
96.90 m
↓
N 71.505751°
W  2.688904°		 ← 96.86 m →
9 386 m²		 N 71.505751°
W  2.686157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492534637451172 y=0.211101531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492534637451172 × 217)
    floor (0.492534637451172 × 131072)
    floor (64557.5)     		tx = 64557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211101531982422 × 217)
    floor (0.211101531982422 × 131072)
    floor (27669.5)     		ty = 27669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64557 / 27669 ti = "17/64557/27669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64557/27669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64557 ÷ 217
    64557 ÷ 131072     		x = 0.492530822753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27669 ÷ 217
    27669 ÷ 131072     		y = 0.211097717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492530822753906 × 2 - 1) × π
    -0.0149383544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04693022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211097717285156 × 2 - 1) × π
    0.577804565429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.81522657791267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04693022} λ = -0.04693022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81522657791267))-π/2
    2×atan(6.14246776731256)-π/2
    2×1.40941116338163-π/2
    2.81882232676325-1.57079632675     		φ = 1.24802600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04693022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.688904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24802600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.506623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64557 KachelY 27669 -0.04693022 1.24802600 -2.688904 71.506623
    Oben rechts KachelX + 1 64558 KachelY 27669 -0.04688229 1.24802600 -2.686157 71.506623
    Unten links KachelX 64557 KachelY + 1 27670 -0.04693022 1.24801079 -2.688904 71.505751
    Unten rechts KachelX + 1 64558 KachelY + 1 27670 -0.04688229 1.24801079 -2.686157 71.505751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24802600-1.24801079) × R
    1.52100000001543e-05 × 6371000     		dl = 96.9029100009828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24802600-1.24801079) × R
    1.52100000001543e-05 × 6371000     		dr = 96.9029100009828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04693022--0.04688229) × cos(1.24802600) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.317195042462931 × 6371000     		do = 96.85932207242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04693022--0.04688229) × cos(1.24801079) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.317209466986775 × 6371000     		du = 96.8637267743029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24802600)-sin(1.24801079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317195042462931-0.317209466986775)×R²
    abs(-0.04688229--0.04693022)×1.44245238442031e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.44245238442031e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.44245238442031e-05×40589641000000     		ar = 9386.16358409319m²