Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64554 / 27748
↖ ↑ ↗
← N 71.437674°
W  2.697144°		 ← 97.23 m → N 71.437674°
W  2.694397°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
N 71.436800°
W  2.697144°		 ← 97.23 m →
9 453 m²		 N 71.436800°
W  2.694397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492511749267578 y=0.211704254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492511749267578 × 217)
    floor (0.492511749267578 × 131072)
    floor (64554.5)     		tx = 64554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211704254150391 × 217)
    floor (0.211704254150391 × 131072)
    floor (27748.5)     		ty = 27748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64554 / 27748 ti = "17/64554/27748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64554/27748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64554 ÷ 217
    64554 ÷ 131072     		x = 0.492507934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27748 ÷ 217
    27748 ÷ 131072     		y = 0.211700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492507934570312 × 2 - 1) × π
    -0.014984130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04707404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211700439453125 × 2 - 1) × π
    0.57659912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81143956284268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04707404} λ = -0.04707404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81143956284268))-π/2
    2×atan(6.1192501398114)-π/2
    2×1.40880947249736-π/2
    2.81761894499472-1.57079632675     		φ = 1.24682262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04707404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.697144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24682262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.437674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64554 KachelY 27748 -0.04707404 1.24682262 -2.697144 71.437674
    Oben rechts KachelX + 1 64555 KachelY 27748 -0.04702610 1.24682262 -2.694397 71.437674
    Unten links KachelX 64554 KachelY + 1 27749 -0.04707404 1.24680736 -2.697144 71.436800
    Unten rechts KachelX + 1 64555 KachelY + 1 27749 -0.04702610 1.24680736 -2.694397 71.436800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24682262-1.24680736) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dl = 97.2214600004615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24682262-1.24680736) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dr = 97.2214600004615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04707404--0.04702610) × cos(1.24682262) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.318336050365997 × 6371000     		do = 97.2280237517044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04707404--0.04702610) × cos(1.24680736) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.318350516472169 × 6371000     		du = 97.2324420728871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24682262)-sin(1.24680736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318336050365997-0.318350516472169)×R²
    abs(-0.04702610--0.04707404)×1.44661061725615e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44661061725615e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44661061725615e-05×40589641000000     		ar = 9452.86520017477m²