Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64553 / 77482
↖ ↑ ↗
← S 31.151707°
W  2.699890°		 ← 261.33 m → S 31.151707°
W  2.697144°		 →
↑
261.40 m
↓
↑
261.40 m
↓
S 31.154058°
W  2.699890°		 ← 261.32 m →
68 311 m²		 S 31.154058°
W  2.697144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492504119873047 y=0.591144561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492504119873047 × 217)
    floor (0.492504119873047 × 131072)
    floor (64553.5)     		tx = 64553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591144561767578 × 217)
    floor (0.591144561767578 × 131072)
    floor (77482.5)     		ty = 77482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64553 / 77482 ti = "17/64553/77482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64553/77482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64553 ÷ 217
    64553 ÷ 131072     		x = 0.492500305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77482 ÷ 217
    77482 ÷ 131072     		y = 0.591140747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492500305175781 × 2 - 1) × π
    -0.0149993896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04712197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591140747070312 × 2 - 1) × π
    -0.182281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.572654202861191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04712197} λ = -0.04712197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572654202861191))-π/2
    2×atan(0.564026409705616)-π/2
    2×0.513548231848666-π/2
    1.02709646369733-1.57079632675     		φ = -0.54369986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04712197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.699890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54369986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.151707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64553 KachelY 77482 -0.04712197 -0.54369986 -2.699890 -31.151707
    Oben rechts KachelX + 1 64554 KachelY 77482 -0.04707404 -0.54369986 -2.697144 -31.151707
    Unten links KachelX 64553 KachelY + 1 77483 -0.04712197 -0.54374089 -2.699890 -31.154058
    Unten rechts KachelX + 1 64554 KachelY + 1 77483 -0.04707404 -0.54374089 -2.697144 -31.154058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54369986--0.54374089) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dl = 261.402129999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54369986--0.54374089) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dr = 261.402129999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04712197--0.04707404) × cos(-0.54369986) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.85580058394873 × 6371000     		do = 261.329003589778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04712197--0.04707404) × cos(-0.54374089) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.855779358168641 × 6371000     		du = 261.322522042482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54369986)-sin(-0.54374089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85580058394873-0.855779358168641)×R²
    abs(-0.04707404--0.04712197)×2.12257800895621e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.12257800895621e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.12257800895621e-05×40589641000000     		ar = 68311.1110336001m²