Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64553 / 27741
↖ ↑ ↗
← N 71.443793°
W  2.699890°		 ← 97.18 m → N 71.443793°
W  2.697144°		 →
↑
97.16 m
↓
↑
97.16 m
↓
N 71.442919°
W  2.699890°		 ← 97.18 m →
9 442 m²		 N 71.442919°
W  2.697144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492504119873047 y=0.211650848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492504119873047 × 217)
    floor (0.492504119873047 × 131072)
    floor (64553.5)     		tx = 64553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211650848388672 × 217)
    floor (0.211650848388672 × 131072)
    floor (27741.5)     		ty = 27741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64553 / 27741 ti = "17/64553/27741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64553/27741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64553 ÷ 217
    64553 ÷ 131072     		x = 0.492500305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27741 ÷ 217
    27741 ÷ 131072     		y = 0.211647033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492500305175781 × 2 - 1) × π
    -0.0149993896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04712197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211647033691406 × 2 - 1) × π
    0.576705932617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.81177512114002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04712197} λ = -0.04712197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81177512114002))-π/2
    2×atan(6.12130384951971)-π/2
    2×1.40886287415503-π/2
    2.81772574831006-1.57079632675     		φ = 1.24692942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04712197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.699890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24692942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.443793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64553 KachelY 27741 -0.04712197 1.24692942 -2.699890 71.443793
    Oben rechts KachelX + 1 64554 KachelY 27741 -0.04707404 1.24692942 -2.697144 71.443793
    Unten links KachelX 64553 KachelY + 1 27742 -0.04712197 1.24691417 -2.699890 71.442919
    Unten rechts KachelX + 1 64554 KachelY + 1 27742 -0.04707404 1.24691417 -2.697144 71.442919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24692942-1.24691417) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dl = 97.1577500008487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24692942-1.24691417) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dr = 97.1577500008487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04712197--0.04707404) × cos(1.24692942) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.318234804507572 × 6371000     		do = 97.1768259210886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04712197--0.04707404) × cos(1.24691417) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.318249261652417 × 6371000     		du = 97.1812405841866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24692942)-sin(1.24691417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318234804507572-0.318249261652417)×R²
    abs(-0.04707404--0.04712197)×1.44571448451036e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.44571448451036e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.44571448451036e-05×40589641000000     		ar = 9441.69621830877m²