Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64551 / 77481
↖ ↑ ↗
← S 31.149357°
W  2.705384°		 ← 261.39 m → S 31.149357°
W  2.702637°		 →
↑
261.34 m
↓
↑
261.34 m
↓
S 31.151707°
W  2.705384°		 ← 261.38 m →
68 310 m²		 S 31.151707°
W  2.702637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492488861083984 y=0.591136932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492488861083984 × 217)
    floor (0.492488861083984 × 131072)
    floor (64551.5)     		tx = 64551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591136932373047 × 217)
    floor (0.591136932373047 × 131072)
    floor (77481.5)     		ty = 77481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64551 / 77481 ti = "17/64551/77481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64551/77481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64551 ÷ 217
    64551 ÷ 131072     		x = 0.492485046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77481 ÷ 217
    77481 ÷ 131072     		y = 0.591133117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492485046386719 × 2 - 1) × π
    -0.0150299072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04721785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591133117675781 × 2 - 1) × π
    -0.182266235351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.572606265961571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04721785} λ = -0.04721785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572606265961571))-π/2
    2×atan(0.564053448031063)-π/2
    2×0.513568744316299-π/2
    1.0271374886326-1.57079632675     		φ = -0.54365884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04721785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.705384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54365884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.149357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64551 KachelY 77481 -0.04721785 -0.54365884 -2.705384 -31.149357
    Oben rechts KachelX + 1 64552 KachelY 77481 -0.04716991 -0.54365884 -2.702637 -31.149357
    Unten links KachelX 64551 KachelY + 1 77482 -0.04721785 -0.54369986 -2.705384 -31.151707
    Unten rechts KachelX + 1 64552 KachelY + 1 77482 -0.04716991 -0.54369986 -2.702637 -31.151707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54365884--0.54369986) × R
    4.10200000000582e-05 × 6371000     		dl = 261.338420000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54365884--0.54369986) × R
    4.10200000000582e-05 × 6371000     		dr = 261.338420000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04721785--0.04716991) × cos(-0.54365884) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.855821803115405 × 6371000     		do = 261.390007524637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04721785--0.04716991) × cos(-0.54369986) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85580058394873 × 6371000     		du = 261.383526644953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54365884)-sin(-0.54369986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855821803115405-0.85580058394873)×R²
    abs(-0.04716991--0.04721785)×2.12191666750794e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12191666750794e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12191666750794e-05×40589641000000     		ar = 68310.4047286316m²