Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64545 / 77478
↖ ↑ ↗
← S 31.142305°
W  2.721863°		 ← 261.41 m → S 31.142305°
W  2.719116°		 →
↑
261.40 m
↓
↑
261.40 m
↓
S 31.144656°
W  2.721863°		 ← 261.40 m →
68 332 m²		 S 31.144656°
W  2.719116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492443084716797 y=0.591114044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492443084716797 × 217)
    floor (0.492443084716797 × 131072)
    floor (64545.5)     		tx = 64545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591114044189453 × 217)
    floor (0.591114044189453 × 131072)
    floor (77478.5)     		ty = 77478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64545 / 77478 ti = "17/64545/77478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64545/77478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64545 ÷ 217
    64545 ÷ 131072     		x = 0.492439270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77478 ÷ 217
    77478 ÷ 131072     		y = 0.591110229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492439270019531 × 2 - 1) × π
    -0.0151214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04750547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591110229492188 × 2 - 1) × π
    -0.182220458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.572462455262711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04750547} λ = -0.04750547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572462455262711))-π/2
    2×atan(0.564134570784639)-π/2
    2×0.513630284770955-π/2
    1.02726056954191-1.57079632675     		φ = -0.54353576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04750547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.721863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54353576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.142305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64545 KachelY 77478 -0.04750547 -0.54353576 -2.721863 -31.142305
    Oben rechts KachelX + 1 64546 KachelY 77478 -0.04745753 -0.54353576 -2.719116 -31.142305
    Unten links KachelX 64545 KachelY + 1 77479 -0.04750547 -0.54357679 -2.721863 -31.144656
    Unten rechts KachelX + 1 64546 KachelY + 1 77479 -0.04745753 -0.54357679 -2.719116 -31.144656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54353576--0.54357679) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dl = 261.402129999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54353576--0.54357679) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dr = 261.402129999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04750547--0.04745753) × cos(-0.54353576) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.855885462318354 × 6371000     		do = 261.409450683843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04750547--0.04745753) × cos(-0.54357679) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.855864242300604 × 6371000     		du = 261.402969544219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54353576)-sin(-0.54357679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855885462318354-0.855864242300604)×R²
    abs(-0.04745753--0.04750547)×2.12200177501787e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.12200177501787e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.12200177501787e-05×40589641000000     		ar = 68332.1401285906m²