Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64545 / 77477
↖ ↑ ↗
← S 31.139954°
W  2.721863°		 ← 261.42 m → S 31.139954°
W  2.719116°		 →
↑
261.40 m
↓
↑
261.40 m
↓
S 31.142305°
W  2.721863°		 ← 261.41 m →
68 334 m²		 S 31.142305°
W  2.719116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492443084716797 y=0.591106414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492443084716797 × 217)
    floor (0.492443084716797 × 131072)
    floor (64545.5)     		tx = 64545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591106414794922 × 217)
    floor (0.591106414794922 × 131072)
    floor (77477.5)     		ty = 77477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64545 / 77477 ti = "17/64545/77477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64545/77477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64545 ÷ 217
    64545 ÷ 131072     		x = 0.492439270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77477 ÷ 217
    77477 ÷ 131072     		y = 0.591102600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492439270019531 × 2 - 1) × π
    -0.0151214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04750547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591102600097656 × 2 - 1) × π
    -0.182205200195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.572414518363091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04750547} λ = -0.04750547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572414518363091))-π/2
    2×atan(0.564161614295116)-π/2
    2×0.51365079927302-π/2
    1.02730159854604-1.57079632675     		φ = -0.54349473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04750547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.721863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54349473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.139954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64545 KachelY 77477 -0.04750547 -0.54349473 -2.721863 -31.139954
    Oben rechts KachelX + 1 64546 KachelY 77477 -0.04745753 -0.54349473 -2.719116 -31.139954
    Unten links KachelX 64545 KachelY + 1 77478 -0.04750547 -0.54353576 -2.721863 -31.142305
    Unten rechts KachelX + 1 64546 KachelY + 1 77478 -0.04745753 -0.54353576 -2.719116 -31.142305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54349473--0.54353576) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dl = 261.402129999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54349473--0.54353576) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dr = 261.402129999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04750547--0.04745753) × cos(-0.54349473) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.855906680895255 × 6371000     		do = 261.415931383395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04750547--0.04745753) × cos(-0.54353576) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.855885462318354 × 6371000     		du = 261.409450683843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54349473)-sin(-0.54353576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855906680895255-0.855885462318354)×R²
    abs(-0.04745753--0.04750547)×2.12185769005169e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.12185769005169e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.12185769005169e-05×40589641000000     		ar = 68333.8342548196m²