Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64541 / 75424
↖ ↑ ↗
← S 26.194877°
W  2.732849°		 ← 274.06 m → S 26.194877°
W  2.730103°		 →
↑
274.02 m
↓
↑
274.02 m
↓
S 26.197341°
W  2.732849°		 ← 274.05 m →
75 096 m²		 S 26.197341°
W  2.730103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492412567138672 y=0.575443267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492412567138672 × 217)
    floor (0.492412567138672 × 131072)
    floor (64541.5)     		tx = 64541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575443267822266 × 217)
    floor (0.575443267822266 × 131072)
    floor (75424.5)     		ty = 75424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64541 / 75424 ti = "17/64541/75424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64541/75424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64541 ÷ 217
    64541 ÷ 131072     		x = 0.492408752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75424 ÷ 217
    75424 ÷ 131072     		y = 0.575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492408752441406 × 2 - 1) × π
    -0.0151824951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04769722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.15087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.474000063443115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04769722} λ = -0.04769722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.474000063443115))-π/2
    2×atan(0.622507213073889)-π/2
    2×0.55680474083028-π/2
    1.11360948166056-1.57079632675     		φ = -0.45718685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04769722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.732849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45718685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.194877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64541 KachelY 75424 -0.04769722 -0.45718685 -2.732849 -26.194877
    Oben rechts KachelX + 1 64542 KachelY 75424 -0.04764928 -0.45718685 -2.730103 -26.194877
    Unten links KachelX 64541 KachelY + 1 75425 -0.04769722 -0.45722986 -2.732849 -26.197341
    Unten rechts KachelX + 1 64542 KachelY + 1 75425 -0.04764928 -0.45722986 -2.730103 -26.197341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45718685--0.45722986) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dl = 274.016710000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45718685--0.45722986) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dr = 274.016710000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04769722--0.04764928) × cos(-0.45718685) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.897297842901807 × 6371000     		do = 274.057857668667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04769722--0.04764928) × cos(-0.45722986) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.897278856355806 × 6371000     		du = 274.052058688805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45718685)-sin(-0.45722986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897297842901807-0.897278856355806)×R²
    abs(-0.04764928--0.04769722)×1.89865460006322e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89865460006322e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89865460006322e-05×40589641000000     		ar = 75095.6380109241m²